AWANS INFORMACJE FORUM Dla nauczyciela Dla ucznia LOGOWANIE


Katalog

Maria Michalska
Matematyka, Artykuły

Badanie podzielności przez 7, 11, 13

- n +

Badanie podzielności przez 7, 11 i 13.

W szkole podstawowej uczniowie poznają najprostsze cechy podzielności bardzo wcześnie, już w klasie IV po to, aby korzystać z nich np. przy skracaniu ułamków. Jednakże takie usytuowanie tego tematu w programie szkolnym praktycznie wyklucza przeprowadzenie z uczniami rozumowań uzasadniających te cechy, jak również omówienie bardziej skomplikowanych cech podzielności.

Tymczasem jest to wdzięczne pole dla prowadzenia przez uczniów własnych dociekań, badania prawidłowości, zgadywania i stawiania hipotez, a wreszcie prób ogólnego dowodzenia ich - a więc do samodzielnej matematycznej aktywności.

Dlatego warto do tego tematu powracać np. na zajęciach pozalekcyjnych, kiedy pracuje się z uczniami zdolniejszymi, dociekliwymi i chcącymi pogłębić swoją wiedzę. Mnie do napisania tego referatu zainspirowali moi uczniowie, kiedy na kółku matematycznym przygotowując ich do konkursu pracowaliśmy nad nietypowymi zadaniami o podzielności liczb.

Podzielność liczb jest tematem, który potrafi młodzież zainteresować, wciągnąć. Możemy tu wykorzystać różne znane "sztuczki magiczne", na przykład taką:

Pomyśl dowolną liczbę 3-cyfrową, zapisz ją 2 razy obok siebie. Otrzymaną liczbę 6-cyfrową podziel przez 11, pomnóż przez 2, podziel przez 13 i następnie przez 14. Wynik jest pomyślaną na początku liczbą!

Uczniowie z pewnością będą chcieli sprawdzić, jaka własność liczb jest przyczyną tego zjawiska.. Zwróćmy wtedy ich uwagę na to, że wszystkie zlecone dzielenia wykonywało się bez reszty. Zastanawiając się nad tym, a także nad operacją arytmetyczną, jaką wykonali zapisując liczbę trzycyfrową dwukrotnie, szybko zauważą, że było to mnożenie przez "magiczną" liczbę 1001 = 7, zwaną w niektórych popularnych książkach liczbą Szeherezady. Spostrzeżenie to może się stać punktem wyjścia do badania wspólnych cech podzielności przez 7, 11 i 13. Przykład:

Rozpatrzmy liczbę 946 988 875. Zapisać ją możemy w następujący sposób:
946 988 875 = 946 988 1000+ (946 988 - 946 988) + 875=946 988 1001 - 946 988 + 875 = 946 988 1001 - (946 988 - 875).


Aby ta różnica była podzielna przez 7 (11 lub 13), liczba w nawiasie musi dzielić się przez ten czynnik. Powtórzmy dla niej nasze postępowanie:
946 988 - 875 = 946 1000 + (946 - 946) + 988 - 875 = 946 1001- (946 - 113).

Ta ostatnia różnica w nawiasie wynosi 833 i dzieli się bez reszty przez 7, a nie dzieli się przez 11 ani przez 13. Tak więc wyjściowa liczba jest podzielna przez 7, a nie jest podzielna przez 11 ani przez 13.

Po przeanalizowaniu tego przykładu możemy z uczniami wspólnie sformułować przepis postępowania w podobnych przypadkach, w szkole podstawowej nie starając się o ogólny zapis rozumowania, co można już wykonać z licealistami.

Aby dowiedzieć się, czy dana liczba dzieli się przez 7 (11, 13), skreślamy jej 3 ostatnie cyfry, a od tak powstałej liczby odejmujemy liczbę skreśloną. Jeśli ta różnica dzieli się przez 7, 11, lub 13, to wyjściowa liczba dzieli się przez 7, 11, lub 13.

Oczywiście nie musi jednocześnie zachodzić podzielność przez wszystkie trzy (tj. 7, 11, 13). Dla każdej z tych liczb z osobna możemy znaleźć specyficzne cechy podzielności. Najłatwiej jest zacząć od podzielności przez 11.

Jedna z cech podzielności przez 11 była znana już arabskiemu matematykowi Al. Karchi w XI wieku, a współczesnym językiem sformułował ją francuski matematyk J. Lagrange (1736 - 1813).

Jeżeli różnica pomiędzy sumą cyfr stojących na miejscach nieparzystych (licząc od prawej) i sumą cyfr stojących na miejscach parzystych jest liczbą podzielną przez 11, to badana liczba jest podzielna przez 11.

Przykład: Badamy liczbę 61 974:
(4 + 9 + 6) - (7 + 1) = 19 - 8 = 11


Zatem liczba 61 974 dzieli się przez 11.

Przechodząc do podzielności przez 7 można przypomnieć, że w wielu kulturach liczba ta uważana jest za magiczną i są z nią związane różne przysłowia i zwyczaje. Również w literaturze dotyczącej cech podzielności liczba 7 cieszy się powodzeniem i wiele różnych takich twierdzeń tam można znaleźć. Wspomnijmy tu o jednej z nich, opartej na spostrzeżeniu, że różnica 10n - 3n dzieli się zawsze przez 7. Można to wywnioskować ze sprawdzonej bezpośrednio równości:

an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +. ..+ abn-2 + bn-1).

Z młodszymi uczniami można przeliczyć to do kilku wartości n, ze starszymi ogólnie, z najstarszymi - indukcyjnie.

Stosujemy tę własność tak, że w zapisie dziesiętnym danej liczby podstawę 10 zastępujemy wszędzie przez 3, odczytujemy więc liczbę w ten sposób, jakby napisana została w układzie trójkowym, nie uwzględniając faktu, że w tym układzie nie ma innych cyfr poza 0, 1, 2. Np. dla liczby 5236 otrzymujemy:

5*33 + 2*32 + 3*31 + 6 = 168.

`Ponieważ 168:7 = 24, wnosimy stąd, że liczba 5236 dzieli się przez 7.

Spróbujmy jeszcze znaleźć cechę podzielności przez 13. Można to zrobić, sprawdzając jakie liczby bliskie kolejnym potęgom dziesiątki dzielą się przez 13.

Zauważmy następującą prawidłowość: przez 13 dzielą się liczby:

100-1, 101+3, 102+4, 103+1, 104-3, 105-4, 106-1, 107+3,. ..

i dalej cyklicznie się powtarza.
Uzasadnić to możemy kolejno, korzystając z równości 10n+1 =(13-3)10n; np. dla n=4 mamy

105=13 -3 4-3+3)=13 4-3(104-3)-9=13k-9=13(k+1)+4.

Tak więc liczba 5 283 327 daje przy dzieleniu przez 13 taką samą resztę jak liczba

7 +2 +3 +3

i jest wobec tego podzielna przez 13.

Opracowanie: Maria Michalska

Zgłoś błąd    Wyświetleń: 6994


Uwaga! Wszystkie materiały opublikowane na stronach Profesor.pl są chronione prawem autorskim, publikowanie bez pisemnej zgody firmy Edgard zabronione.


BAROMETR


1 2 3 4 5 6  
Średnia ocena: 4.76



Ilość głosów: 50

Serwis internetowy, z którego korzystasz, używa plików cookies. Są to pliki instalowane w urządzeniach końcowych osób korzystających z serwisu, w celu administrowania serwisem, poprawy jakości świadczonych usług w tym dostosowania treści serwisu do preferencji użytkownika, utrzymania sesji użytkownika oraz dla celów statystycznych i targetowania behawioralnego reklamy (dostosowania treści reklamy do Twoich indywidualnych potrzeb). Informujemy, że istnieje możliwość określenia przez użytkownika serwisu warunków przechowywania lub uzyskiwania dostępu do informacji zawartych w plikach cookies za pomocą ustawień przeglądarki lub konfiguracji usługi. Szczegółowe informacje na ten temat dostępne są u producenta przeglądarki, u dostawcy usługi dostępu do Internetu oraz w Polityce prywatności plików cookies.
Dowiedz się więcej.