Biografie wielkich matematyków - - Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss, któremu nadano wzniosły przydomek "Książe matematyków", urodził sie 30 kwietnia 1777 roku w bardzo biednej rodzinie w Brunszwiku (Braunschweig).

Jego dziad był ubogim wieśniakiem, a ojciec Gerhard robotnikiem, który zarabiał na utrzymanie rożnymi zajęciami - jako ogrodnik, murarz, dozorca. Ten prosty człowiek nie widział niczego pożytecznego w zapewnianiu dzieciom wykształcenia i gdyby nie zdecydowane stanowisko matki, przyszły wielki matematyk zostałby może, jak ojciec, murarzem lub ogrodnikiem.

Geniusz matematyczny Carla dal o sobie znać bardzo wcześnie. Jako malec sam nauczył się czytać, wypytując starszych o wymowę liter alfabetu, a także opanował samodzielnie proste rachunki. Często później wspominał, ze nauczył się rachować, zanim jeszcze zaczął mówić. Nauczyciel matematyki w szkole, do której poszedł Gauss. Lubił mięć sporo spokoju na lekcjach, toteż dawał dzieciom do wykonania mozolne rachunki. Kiedy Gauss znalazł się w klasie arytmetyki, na jednej z pierwszych lekcji nauczyciel polecił dzieciom zsumować wszystkie liczby od 1 do 40. Ledwie skończył dyktować zadanie, mały Gauss położył na katedrze swoja tabliczkę z rozwiązaniem. Inne dzieci męczyły się bardzo długo i wszystkie pomyliły się w rachunkach. Tymczasem młody Carl spostrzegł od razu, ze w tym szeregu liczb suma liczb pierwszej i ostatniej, drugiej i przedostatniej itd. wynosi zawsze 41, toteż mnożąc 41 przez liczbę par, 20, otrzymał prawidłowy wynik 820.

Genialnym malcem zainteresował się władca Brunszwiku, Książe Carl Wilhelm Ferdynand, który postanowił finansować dalsza naukę chłopca. Mimo oporów ojca Gauss uczył się najpierw dwa lata w półwyższej szkole Collegium Carolinum w Brunszwiku, gdzie, korzystając z dobrze zaopatrzonej biblioteki, samodzielnie zdołał opanować dzieła Eulera, Lagrange 'a i przede wszystkim arcytrudne Principia Newtona. Jak się potem okazało, wśród rożnych swoich osiągnięć opracował w tym czasie metodę najmniejszych kwadratów.

W wieku 18 lat wstąpił na uniwersytet w Getyndze, po trzech latach opuścił uczelnie, nie uzyskując żadnego dyplomu. Na życzenie swego dobroczyńcy księcia napisał jednak rozprawę doktorska i przedstawił ja uniwersytetowi w Helmstedt, który w 1799 roku nadal mu tytuł doktora in absentia, bez zwyczajowego egzaminu ustnego.

Stopień naukowy doktora uzyskał za tezę, w której podał ścisły dowód zasadniczego twierdzenia algebry, mówiącego, że każde równanie algebraiczne stopnia n o współczynnikach rzeczywistych posiada dokładnie n pierwiastków. W późniejszym okresie (w roku 1814 i 1850) podał jeszcze dwa inne dowody. Warto zaznaczyć, że dowody podawane przed Gaussem przez d Alemberta, Eulera, Lagrange a i Laplace a nie były poprawne.

Być może Gauss, młody człowiek o wybitnym, "ścisłym" umyśle, wybrałby inny zawód niż matematyka - posiadał on wybitne uzdolnienia językowe i rozważał dalsze studia języków klasycznych - gdyby nie drobny przypadek. W 1796 udało mu się udowodnić, że jest możliwa konstrukcja foremnego 17-kąta przy użyciu tzw. narzędzi Euklidesa, to znaczy cyrkla i linijki. Starożytni Grecy znali oczywiście takie foremne wielokąty jak trójkąt równoboczny, kwadrat, pięciokąt i piętnastokąt, a także "parzyste" wielokąty, powstające przez podwojenie liczby boków w wyżej wymienionych: sześciokąt, ośmiokąt, itd. Trójkąt i kwadrat to sprawy oczywiste, pięciokąt już nieco mniej. Konstrukcja kąta 72o (lub 36o) wymaga nieco pomyślunku - ale można ją znaleźć już u Euklidesa. Wiąże się ona zresztą z problemem złotego podziału odcinka o długości a: większa część odcinka, x, ma się do mniejszej w tym samym stosunku w jakim ma się do niej samej cały odcinek; algebraiczne jego sformułowanie to:



a rozwiązaniem tego kwadratowego równania jest



W wydanych w 1801 Disquisitiones Arithmeticae Gauss wykazał, że regularny p-kąt, gdzie p jest liczbą pierwszą, można skonstruować narzędziami Euklidesowymi, pod warunkiem że p ma postać

2^2k +1.     (1)

Takimi liczbami pierwszymi, dla k = 0,1,2,3,4 są p = 3, 5, 17, 257 i 65 367. Dla k=5 liczba 2³²+1 jest podzielna przez 641 (pierwszy wykazał to Euler). Potem liczby typu 1 już nie są pierwsze - to znaczy, dla kolejnych k można to sprawdzić, ale...nikt tego nie udowodnił dla wszystkich k (Gauss nie zdążył ?). A więc przy dzisiejszym stanie wiedzy matematycznej możemy okrąg podzielić jedynie na następujące pierwsze liczby równych części: 3, 5, 17, 257, 65537. Już teraz rozumiemy, skąd się wzięła "siedemnastka" Gaussowska!

Konstrukcja siedemnastokąta foremnego jest bardzo skomplikowana. Nikt oczywiście nie używa jej w praktyce, gdyż najczęściej wystarczy znaleźć odpowiadający temu wielokątowi kąt środkowy równy 360 17 = 21 10

Cóż dopiero mówić o konstrukcji wielokąta foremnego o 257 bokach. Ukazała się praca poświęcona tej konstrukcji. Zawiera 194 strony druku. Ale jest to jeszcze nic w porównaniu z rekordowym osiągnięciem jednego z entuzjastów Gaussowskiej idei. W ciągu dziesięciu lat żmudnej pracy udało mu się zestawić konstrukcję wielokąta foremnego o 65537 bokach. Cały ten księgozbiór, mieszczący się w dużej skrzyni, stał się własnością seminarium matematycznego w Getyndze i należy poważnie wątpić czy zajrzał ktoś do tego dzieła.

Opracowania te nie mają rzecz jasna, żadnego znaczenia naukowego. Z chwilą bowiem gdy Gauss udowodnił swoje twierdzenie, to szczegółowa analiza w konkretnych przypadkach jest zbyteczna. Wygląda to tak, jak gdybyśmy znając dowód jednego z podstawowych wzorów algebraicznych (a+b) = a 2ab + b zechcieli sprawdzić jego słuszność dla bardzo dużych wartości liczbowych a i b.

Z powyżej sformułowanego twierdzenia Gaussa wynika następujące ogólne twierdzenie rozstrzygające w każdym przypadku możliwość lub niemożliwość podziału okręgu na równe części. Okrąg możemy podzielić za pomocą linijki i cyrkla na n równych części tylko wtedy, jeżeli n w swoim rozkładzie na czynniki pierwsze nie zawiera innych liczb pierwszych poza liczbami pierwszymi Fermata w pierwszej potędze lu 2 w dowolnej potędze. Twierdzenie to, będące uwieńczeniem pracy Gaussa, wyjaśnia nam ostatecznie wątpliwości w tej dziedzinie niepokojące matematyków w ciągu wieków.

Gauss był tak dumny ze swego wyczynu, że prosił nawet pod koniec życia, aby regularny 17-kąt znalazł się - zamiast epitafium - na jego nagrobku. Kamieniarz nie podjął się jednak tego zadania - taki "wielokąt" nie różni się zbytnio od koła. Za to wdzięczni ziomkowie Gaussa umieścili, na piedestale jego pomnika, 17-ramienną gwiazdę.

Jednym z pierwszych i najbardziej głośnych tryumfów Gaussa był związany z odkryciem (podczas pierwszej nocy 19. wieku, 1 stycznia 1801) planetoidy Ceres, przez włoskiego astronoma Piazzi'ego. Astronom obserwował planetoidę (która zapoczątkowała tę nową kategorię obiektów nieba) przez 6 tygodni, w ciągu których Ceres przebiegła raptem 9^o łuku. Potem znalazła się blisko Słońca - i skończyły się obserwacje. Z danych Prazziego Gauss wyliczył orbitę Ceres z taką dokładnością, że po upływie roku astronomowie nie mieli najmniejszych trudności z ponownym zarejestrowaniem jej w miejscu, którego współrzędne wynikały z rachunku! Ten tryumf na swój sposób źle się przysłużył matematyce - Gauss przez 20 lat z pasją rachował orbity kolejno odkrywanych planetoid: Pallas, Juno i Westy. Wyniki opisał w swoim znakomitym Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicus Solem Ambietium (Teoria ciał niebieskich obiegających Słońce po orbitach stożkowych). Książka ta, eksponująca między innymi potęgę metody najmniejszych kwadratów, stała się biblią 19-wiecznych astronomów. W latach 1845-1846 obserwacje "zakłóceń" orbity niedawno (1781) odkrytego Urana doprowadziły do zapostulowania w określonym miejscu nowej planety - Neptuna. Odkrycia tego dokonali niezależnie Anglik Adams i Francuz Leverrier, chociaż - głównie za sprawą niechlujstwa angielskiego Astronoma Królewskiego, który nie bardzo dawał wiary "teoretycznym" wymysłom młodego i mało znanego w kręgach astronomów Adamsa, chwała przypadła Francuzom.

Jak już jesteśmy przy Francuzach - prawdziwą klęską dla Gaussa okazała się kampania napoleońska. W bitwie pod Jeną (1806) poległ książę Brunszwiku, główny dowódca pruskich wojsk. Gauss stracił sponsora i zaczął...rozglądać się za posadą. Kusząca propozycja czekała (od czasu historii z Ceres) z Petersburskiej Akademii, ale przyjaciele z uniwersytetu Getyngi zaproponowali mu stanowisko dyrektora nowoutworzonego obserwatorium astronomicznego. Gauss chętnie się zgodził i do końca życia pozostał w Getyndze.

Nie był to jednak koniec napoleońskich awantur. W 1807, z zagarniętych przez Napoleona ziem niemieckich utworzono buforowe królestwo Westfalii. Królem został (oczywiście!) najmłodszy braciszek cesarza. A ponieważ wojny trwały, forsy było mało nowy król nałożył na niemiecką ludność kontrybucję. Na Gaussa przypadło dwa tysiące franków - suma ogromna na ówczesne czasy, a także na możliwości uniwersyteckiego profesora (uniwersytet płacił w ogóle kiepsko, a z powodu wojen - nieregularnie). Ładny gest wykonał wówczas Laplace, opłacając za Gaussa kontrybucję i powiadamiając o tym Gaussa w pełnym szacunku liście. Jednakże Gauss miał swój honor - skrupulatnie spłacił, w ciągu kilku lat, wyłożoną za niego sumę wraz z odsetkami i...do końca życia nie lubił Francji.

Po roku 1820 (po przygodzie z astronomią) Gauss zajął się geodezją: zagadnieniami związanymi z matematycznym określeniem kształtu i rozmiarów Ziemi. Aby zwiększyć dokładność danych Gauss opracował nowy przyrząd - heliotrop, wykorzystujący (jak sama nazwa wskazuje) promienie Słońca do pomiaru krzywizny powierzchni. Właśnie przy okazji studiów geodezyjnych ujrzała światło dzienne słynna krzywa rozkładu normalnego (Gaussa) błędów.

Ponieważ teorie geodezyjne były wówczas jeszcze w powijakach G. opracował sam teorię zakrzywionych powierzchni, dzięki której szczegółowy opis danej powierzchni mógł zostać wydedukowany z pomiarów długości krzywych leżących na tej powierzchni. Teoria była całkiem, całkiem - ale co więcej, znalazła godnego kontynuatora w osobie Bernarda Riemanna, który rozwinął teorię zakrzywionych powierzchni na 3- i wielo-wymiarową geometrię przestrzenną. Teoria Riemanna ujrzała światło dzienne tuż przed śmiercią Gaussa - w 60 lat później stała się punktem wyjścia dla ogólnej teorii względności Einsteina!

Gauss jako jeden z pierwszych poddał w wątpliwość wewnętrzną spójność euklidesowej geometrii. Gdy w latach 1830-ych Janosz Bolyai (Węgier) i Mikołaj Łobaczewski (Rosjanin) opublikowali niezależnie swoje prace o nie-euklidesowej geometrii, Gauss...sięgnął do szuflady i wyciągnął bardzo podobne wyniki, uzyskane 30 lat wcześniej. Trzeba tu zaznaczyć, że Gauss był z jednej strony niesłychanie twórczym umysłem, a z drugiej - rygorystycznym pedantem. Często uzyskane wyniki pozostawały na dnie szuflady, bo zainteresowanie uczonego przenosiło się już gdzie indziej, a publikowanie "niedopracowanych" teorii nie wchodziło w rachubę. Dewizy Gaussa brzmiały "Pauca, sed matura" ("Skromnie, ale dojrzale") oraz "Ut nihil amplius desiderandum relictum sit" ("Aby nic więcej nie pozostawało do zrobienia").

Fizyka. Przecież i tutaj nazwisko Gaussa pojawia się i to częściej niż myślimy. Oczywiście pierwsze skojarzenie to prawo Gaussa w elektrostatyce. Prace Gaussa nad teorią potencjału stanowią znaczne rozszerzenie prawa Coulomba - połączenie idei siły (natężenia pola) zmieniającej się odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości ze stałością strumienia wektora tej siły, obliczonego dla zamkniętej powierzchni i z wartością całkowitego ładunku zamkniętego wewnątrz powierzchni stanowiło tour de force ówczesnej fizyki. Twierdzenie Gaussa to perła analizy wektorowej - nieocenione w opisie wektorowych pól fizycznych.

W 1841 Gauss opublikował swoją Teorię optyki, w której rzeczywiście położył podwaliny pod dział optyki nazywany optyką geometryczną. To właściwie jemu zawdzięczamy takie pojęcie jak oś optyczna, odległość ogniskowa, ognisko i środek soczewki.

Wreszcie - każdy wie, że jednostką natężenia pola magnetycznego w starym (ale nie za dobrym) układzie cgs jest 1 Gauss. W latach 40-tych 19. wieku Gauss współpracował z niemieckim fizykiem Wilhelmem Weberem. razem prowadzili badania magnetyzmu ziemskiego, inspirując innych fizyków (praktycznie z całego świata) do podobnych pomiarów, prowadzonych w skoordynowany i regularny sposób. Wyniki Webera i Gaussa zostały wykorzystane przez twórców pierwszego telegrafu. Tak naprawdę to obaj panowie zbudowali pierwszy elektryczny telegraf, ale pomysł że ten przyrząd mógłby stać się zalążkiem,,światowego'' systemu komunikacji nie przypadł Gaussowi do gustu.

A jeszcze były prace nad teorią cieczy, włoskowatością i napięciem powierzchniowym. Nie tylko nowe i ciekawe tematy, ale rozwiązywane w nowoczesny i dojrzały sposób - z podkreśleniem roli prawa zachowania energii i (pierwszymi!) zastosowaniami rachunku wariacyjnego.

W październiku 1805 roku Gauss ożenił się z trzy lata młodszą Johanną Osthoff, córką garbarza. Zakochany nieprzytomnie pisał do przyjaciela: Po pierwsze, ma ona piekną twarz madonny, odzwierciedlającą spokój umysłu i zdrowie, delikatne oczy i nieskazitelną figurę. Po drugie - jasny umysł i kształcony język. Ale najważniejsza jest spokojna, pogodna, skromna i czysta dusza anioła, który nie może skrzywdzić żadnej istoty. Z tego związku urodzili się syn Joseph i córka Wilhelmina. Komplikacje podczas porodu spowodowały w 1809 roku śmierć jego żony i drugiego syna Louisa. Zrozpaczony Gauss, chcąc zapewnić opiekę maleńkim dzieciom, ożenił się bardzo szybko z Minną Waldeck, córką profesora prawa. Dała mu ona synów Eugena i Wilhelma oraz córkę Theresę.

Stosunki Gaussa z tymi synami układały się niedobrze. Eugen został przezeń zmuszony do wstąpienia na studia prawnicze, czego nienawidził, ale nie odważył się przeciwstawić ojcu. Wkrótce jednak zniknął z Getyngi, aby odnaleźć się w Bremie, gdzie odbył ostatnią dramatyczną rozmowę z ojcem, oznajmiając mu o swym nieodwołalnym zamiarze emigracji do Stanów Zjendoczonych. Istotnie, wyjechał do Filadelfii. Drugi syn Wilhelm także emigrował w 1832 do Luizjany, gdzie założył dobrze prosperujące gospodarstwo. Liczni potomkowie Gaussa mieszkają dziś w różnych miejscowościach USA. "Książę matematyków" był niski (poniżej 160 cm), krępy, silny i muskularny. Wielu rozmówców podkreślało przenikliwy wzrok jego niebieskich oczu.

Na pytanie Aleksandra von Humboldta, kto jest największym matematykiem w Niemczech, Laplace bez namysłu odparł: Pfaff. A Gauss? - zapytał zdziwiony Humboldt. Oh, Gauss jest największym matematykiem w świecie - odrzekł Laplace.

Gauss utrzymywał, że gdyby inni zajmowali się matematyką tak starannie i głęboko jak on, to dokonaliby tych samych odkryć. Istotnie, miał on niezwykłą zdolność koncentrowania się na rozwiązywanych problemach. Często podczas rozmów z przyjaciółmi nagle milkł, zatapiał się w myślach i przestawał reagować na otoczenie. Opowiada się, że gdy do zamyślonego Gaussa podbiegł służący, mówiąc: Panie Gauss, pańska żona umiera i chce Pana zobaczyć, półprzytomny uczony machinalnie odpowiedział: Proszę powiedzieć, żeby trochę poczekała, aż skończę dowód twierdzenia.

Opisane perypetie finansowe Gaussa, wynikłe z napoleońskiej kontrybucji, wyszły mu chyba na zdrowie. Ocenia się, że umierając pozostawił majątek, którego wartość była przynajmniej stokrotną wielokrotnością jego aktualnych, rocznych zarobków. A warto wspomnieć, że w ciągu swego życia zgromadził Gauss pokaźną bibliotekę - ponad 6 tysięcy książek. Były wśród nich książki pisane w "interlingua hominorum scientiae" - języku ludzi nauki - czyli łacinie. Były dzieła w klasycznej grece, a także książki angielskie francuskie, duńskie i - oczywiście - niemieckie.

Prace Gaussa wywarły duży wpływ na rozwój wielu dyscyplin matematycznych. Jako pierwszy podał ścisły dowód zasadniczego tw. Algebry, opracował tzw. metodę eliminacji, służącą do rozwiązywania układów równań liniowych, podał geometryczną interpretację liczb zespolonych jako punktów płaszczyzny i opracował teorię równań x - 1 = 0, która utorowała drogę takim podstawowym pojęciom i metodom współczesnej algebry jak: ciało, grupa, teoria Gaussa, zastosowanie teorii ciał w konstrukcjach geometrycznych. W analizie matematycznej prowadził badania dotyczące teorii całkowania, rachunku wariacyjnego, teorii interpolacji, całkowania numerycznego i transformacji całkowych. W geometrii zajmował się teorią pow., był jednym z twórców geometrii różniczkowej. W probabilistyce wprowadził pojęcie rozkładu normalnego, zwanego też rozkładem Gaussa, który odgrywa podstawową rolę w całym rachunku prawdopodobieństwa. W teorii liczb wprowadził pojęcie kogruencji i wykazał jego przydatność, udowodnił prawo wzajemności reszt kwadratowych, opracował teorię form kwadratowych, stając się prekursorem algebraicznej teorii liczb, oraz sformułował jako hipotezę tw. o liczbach pierwszych. Z niepublikowanych prac Gaussa wynika, że prowadził też badania poświęcone analizie zesp. i geometrii nieuklidesowej. Jego dzieła to: Disquistiones arithmeticae (1801), Theoria motus corporum coelestium.... (1809), Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827), Dioptrische Untersuchungen (1841).

Literatura:

1. E. Kofler "Z dziejów matematyki"
2. W. Krysicki "Poczet wielkich matematyków"
3. Wiedza i życie nr 6/1996 "Książe matematyków"
4. Encyklopedia szkolna - Matematyka
5. http://novell.ftj.agh.edu.pl/~lenda/cicer/gauss.1htm
6. http://republika.pl/mathelp/Gauss.htm

Opracowanie:
Jerzy Nędza

Wyświetleń: 2414