KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI
KLASA 2G

Prowadzący: Marlena Kwaśniewska


TEMAT: ILE ROZWIĄZAŃ MOŻE MIEĆ UKŁAD RÓWNAŃ?


Cele ogólne:

- zapoznanie ucznia z trzema przypadkami rozwiązań układów równań
I – go stopnia z dwiema niewiadomymi oraz ich nazwami
- zapoznanie z metodą odczytywania rodzaju układu równań


Cele szczegółowe:
uczeń:
- kształtuje umiejętność rozwiązywania i interpretacji rozwiązań układów równań ,
ich zaklasyfikowania
- poprawnie je nazywa
- kształtuje język matematyczny
- kształtuje pojęcie rozwiązania w szerszym pojęciu
- poszerzenie horyzontów myślowych, odejście od schematyzacji rozwiązań
- uczy się dyscypliny działań
- uczy się pracy w zespole


metody i formy prowadzenia lekcji:
metoda poszukująca, wykład, praca indywidualna, zespołowa, rozmowa z uczniami

pomoce naukowe:
karty pracy, plansze, podręcznik



I. WPROWADZENIE:

Nauczyciel proponuje rozwiązanie dowolną metodą oznaczonego układu równań ( nie nazywając go) np.:

x + 3y = 3
x – y = 5

Jeden z uczniów rozwiązuje na tablicy, pozostali uczniowie w zeszytach, po rozwiązaniu porównują wyniki : x = 4,5 i y = -0,5

Kolejna propozycja nauczyciela to sprawdzenie poprawności rozwiązania.
Zauważamy, że lewa strona L i prawa strona P równości pierwszej jak i drugiej są sobie równe.
nauczyciel pyta :
Co to znaczy rozwiązać układ równań? Co nazywamy rozwiązaniem układu równań?

Uczniowie formułują odpowiedź w postaci wniosku, który zapisują w zeszycie:

Rozwiązaniem układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb, która spełnia jednocześnie równanie pierwsze i równanie drugie.

x = 4,5
y = - 0,5


II. ANALIZA LICZBY ROZWIĄZAŃ UKŁADU RÓWNAŃ

Kolejne pytanie:

Czy zawsze układ równań będzie miał dokładnie jedno rozwiązanie, czyli parę liczb?

Uczniowie zostają podzieleni na sześć grup. Każda grupa otrzymuje przygotowaną kartę z zapisanymi na niej:
układem równań do rozwiązania oraz tabelę, która zostanie uzupełniona podczas analizy rozwiązań w dalszej części lekcji.


Gr. A



2x + y = 8
3x + y = 11



Gr. B


2(x + y) – 2 = 3(x + 2)
2(y + 2) + 3(x – y)= 2x – 1



Gr. C



x – y = 3
2x – 2y = 4



Gr. D


1,5x + 0,5y = 2
0,3x + 0,1y =



Gr. E


x – y = 5
2x – 2y = 10



Gr. F

x + y = 2
x + 0,6y = 6




Grupy A i B, C i D, E i F mają te same rodzaje układów, zróżnicowane w stopniu trudności rozwiązywania. Otrzymywane wyniki, komentarze po analizie zostają umieszczone w tabelkach



grupa

Układ do rozwiązania
Rozwiązanie i uwagi Liczba rozwiązań Nazwa układu


GR A
2x + y = 8
3x + y = 11

x = 3
y = 2

para
punktów układ oznaczony
lub
układ równań niezależnych


GR B
2(x + y) – 2 = 3(x + 2)
2(y + 2) + 3(x – y)= 2x – 1

x = -2
y = 3
para
punktów
układ oznaczony




GR C


x – y = 3
2x – 2y = 4

L = 0
P = -2
L ≠ P

nie ma rozwiązania
albo
rozwiązaniem jest zbiór pusty


układ równań sprzecznych

GR D
1,5x + 0,5y = 2
0,3x + 0,1y =

0x + 0y = 8
L = 0
P = 8
L ≠ P
nie ma rozwiązania
układ równań sprzecznych

GR E
x – y = 5
2x – 2y = 10


0x + 0y = 0
każda liczba pomnożona przez 0 daje zero
L = P

nieskończenie wiele możliwości rozwiązań

układ nieoznaczony
lub układ równań zależnych

GR F
x + y = 2
x + 0,6y = 6

nieskończenie wiele rozwiązań
układ nieoznaczony



III. CZY OD RAZU MOŻNA USTALIĆ RODZAJ UKŁADU CZY KONIECZNIE TRZEBA GO ROZWIĄZAĆ BY OKREŚLIĆ?

Zapiszmy układ równań inaczej w innej postaci:

a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2

gdzie a1 b1 c1 a2 b2 c2 są danymi liczbami rzeczywistymi
przyjmijmy:

Układ oznaczony
Układ nieoznaczony
Układ sprzeczny

jeżeli zachodzi:
≠

jeżeli zachodzi:
= =

jeżeli zachodzi:
= ≠


2x + y = 8
3x + y = 11

a1 = 2 a 2 = 3 b1 = 1 b2 = 1

≠

x – y = 5
2x – 2y = 10

a1 = 1 a 2 =2 b1 = -1 b2 = -2

c1= 5 c2 = 10

= =

x – y = 3
2x – 2y = 4

a1 = 1 a 2 = 2 b1 = -1 b2 = -2

c1 = 3 c2 4
= ≠



















Wyjaśniam uczniom, że proponowany sposób postępowania określa typ układu, nie daje rozwiązania układu oznaczonego.

IV PRACA DOMOWA

Do podanego równania dopisz drugie takie równanie, aby utworzony układ równań był:
a) oznaczony x – y = 2
b) nieoznaczony x + 3y = 6
c) sprzeczny 2x – y = 7








Grupa

Układ do rozwiązania
Rozwiązanie
i uwagi
Liczba rozwiązań
Nazwa układu


GR A
2x + y = 8
3x + y = 11

x = 3
y = 2




GR B
2(x + y) – 2 = 3(x + 2)
2(y + 2) + 3(x – y)= 2x – 1

x = -2
y = 3




GR C
x – y = 3
2x – 2y = 4
L = 0
P = -2
L ≠ P





GR D
1,5x + 0,5y = 2
0,3x + 0,1y =

0x + 0y = 8
L = 0
P = 8
L ≠ P



GR E
x – y = 5
2x – 2y = 10


0x + 0y = 0
każda liczba pomnożona przez 0 daje zero
L = P





GR F
x + y = 2
x + 0,6y = 6

0x + 0y = 0





Karta pracy dla uczniów , podobna tabela umieszczona na planszy uzupełniana
w trakcie dyskusji.

Wyświetleń: 1016