Równania stopnia trzeciego z jedną niewiadomą



Opracowanie Zbigniew Stebel



(A) Podstawowe fakty



Równanie stopnia trzeciego postaci

(1)
może posiadać

A) jeden pierwiastek rzeczywisty oraz dwa ze sobą sprzężone pierwiastki zespolone,

B) jeden pierwiastek pojedyńczy oraz jeden podwójny,

C) trzy różne pierwiastki pojedyncze.

Równanie (1) możemy również zapisać w postaci

(2)
Ze wzorów (1) i (2) wynika, że

(3)
Przykład 1.

Wiedząc, że 1,2,3 są pierwiastkami równania kubicznego znaleźć to równanie

, , .

Zatem równanie przyjmuje postać
Podstawiając do równania (1) otrzymujemy równanie równoważne postaci

(4)
Przykład 2.

Równanie postaci przedstawić w postaci równoważnej

Niech
Wtedy ,stosując wzory skróconego mnożenia otrzymujemy

i po redukcji wyrazów podobnych mamy równanie

.

Równanie (4) rozwiązujemy za pomocą wzorów Cardana-Tartaglii

Oznaczmy

(5) .

Ad(A) Jeśli wówczas równanie ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa pierwiastki zespolone ze sobą sprzężone liczone ze wzorów




Ad(B) Jeśli równanie ma jeden pierwiastek pojedynczy i jeden podwójny liczone ze wzorów



Ad(C) Jeśli równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste pojedyncze liczone ze wzorów



, gdzie .







































(B) Przykłady rozwiązania równań bez stosowania wzorów Cardana-Tartaglii



1.
Jest to równanie postaci .

Wszystkie dzielniki wyrazu wolnego to
Sprawdzając stwierdzamy, że dla wielomian jest podzielny przez dwumian ,gdyż .

,zatem mamy równanie równoważne .

Dla wielomian przyjmuje wartość zero, czyli jest podzielny przez dwumian .

.Ostatecznie równanie przyjmuje postać
Zatem otrzymujemy trzy różne pierwiastki całkowite


które są rozwiązaniem tego równania.

Sprawdzenie:






2.

Sprawdzając stwierdzamy, że .Dzieląc wielomian W(x) przez dwumian otrzymujemy wielomian stopnia drugiego .Zatem równanie równoważne ma postać .

Dzielniki wyrazu wolnego wielomianu nie zerują tego wielomianu, zatem skorzystamy z algorytmu rozwiązywania równań kwadratowych.

gdzie jest jednostką urojoną ( ).

Ponieważ więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, tylko dwa ze sobą sprzężone pierwiastki zespolone.



Ostatecznie równanie spełniają dwa pierwiastki zespolone i jeden rzeczywisty


3.

zatem wielomian jest podzielny przez dwumian
ze wzoru na kwadrat różnicy.

Zatem równanie równoważne przyjmuje postać skąd rozwiązaniem równania są trzy różne pierwiastki rzeczywiste
4.
Zauważmy, że ,zatem , więc mamy równanie: równoważne.

Ponieważ więc zatem otrzymujemy: .

Równanie ma dwa pierwiastki zespolone. Ostatecznie równanie (4) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste oraz dwa zespolone ze sobą sprzężone.












































(B) Przykłady rozwiązania równań z zastosowaniem wzorów Cardana-Tartaglii





Równanie
Jest to równanie postaci
Niech Wtedy po podstawieniu otrzymujemy

Po zastosowaniu wzorów na sześcian i kwadrat różnicy mamy

skąd po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy równanie

czyli równanie równoważne postaci
Zatem równanie to względem zmiennej z ma jeden pierwiastek podwójny i jeden pojedynczy w zbiorze liczb rzeczywistych.


Powracając do zmiennej x otrzymujemy




Równanie
zatem równanie to ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

Liczymy pierwiastki


Łatwo obliczyć, że

Sprawdzić jako ćwiczenie.

,

,

.

Łatwo widać, że rozwiązaniem równania są dwa pierwiastki zespolone ze sobą sprzężone i jeden pierwiastek całkowity czyli rzeczywisty.





Równanie

Zatem, równanie to ma jeden pierwiastek pojedynczy i jeden podwójny



Rozwiązanie tego równania spełniają liczby: -2 i 1.

Zadanie (i).

Uzasadnić, że każde równanie postaci można sprowadzić do postaci
Dowód: Niech
Wtedy po podstawieniu do równania otrzymujemy

. Korzystając ze wzorów na sześcian i kwadrat różnicy otrzymujemy

Po uproszczeniu otrzymujemy

. Po redukcji wyrazów podobnych mamy

stąd

Podstawiając odpowiednio otrzymujemy równanie równoważne co należało pokazać.



Zadanie (j).

Uzasadnić, że współczynniki a,b i c w równaniu obliczamy ze wzorów

gdzie są pierwiastkami równania.



Dowód:

Równanie w zadaniu jest równoważne równaniu postaci: Stąd otrzymujemy

Porównując równanie dane w zadaniu z ostatnim otrzymujemy wzory na obliczanie współczynników a,b i c.





Literatura

В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике. Издательство ,,Наука” Москва 1964

Wyświetleń: 1648