Koła w trójkątach

Dość znaczny rozwój geometrii w czasach starożytnych polegał w dużej części na poznawaniu i opisywaniu pewnych konstrukcji geometrycznych. Jest to zrozumiałe , jeśli uświadomimy sobie, że każde niemal praktyczne zastosowanie geometrii sprowadza się do wykonania pewnej konstrukcji geometrycznej. Z praktycznej potrzeby wykonywania pomiarów ziemi wyłoniło się między innymi zagadnienie konstrukcji prostych prostopadłych. W początkach swych geometria była zbiorem przepisów wykonywania pomiarów przedmiotów materialnych. Pierwsze próby formułowania twierdzeń geometrycznych pojawiły się w VI w p.n.e. W starożytnej Grecji (Tales z Miletu) np. twierdzenie o równości kątów wierzchołkowych i twierdzenie o równości trójkątów o tym samym boku i kątach do niego przyległych . W ciągu około trzech wieków jakie dzielą Talesa od ukazania się "Elementów" Euklidesa nauka grecka przeszła ogromną drogę polegającą na znalezieniu środków logicznych do dowodzenia twierdzeń, poszukiwaniu istoty podstawowych pojęć geometrycznych, a wreszcie wyjaśnieniu zasad budowy nauki dedukcyjnej. Następny krok po Talesie został dokonany przez Pitagorasa i stworzony przez niego zakon Pitagorejczyków o charakterze tyczno-religijnym, który przez kilka wieków był ośrodkiem badań filozoficznych i matematycznych. Pitagorasowi i jego uczniom zawdzięczamy odkrycie, że w matematyce do prawdy dochodzi się drogą rozumowania. Pitagorejczycy wypracowali pierwsze definicje geometryczne np.: stycznej do koła jako prostej mającej z nim jeden punkt wspólny. Szkoła platońska wyodrębniła linijkę i cyrkiel jako najważniejsze przyrządy. "Elementy" Euklidesa są pierwszym wykładem geometrii, który zawiera listę pewników przyjętych bez dowodów Dwa z nich można ująć tak:
przez dwa punkty można przeprowadzić prostą i można zawsze zakreślić
okrąg o danym środku i danym promieniu.

Euklides dowodzi twierdzeń o własnościach tych wielokątów foremnych, które sam potrafi skonstruować środkami platońskimi Rozwiązanie zadania konstrukcyjnego w Elementach polega na opisie powstawania kolejnych prostych i okręgów potrzebnych do konstrukcji

Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg opisany na trójkącie, to najbardziej naturalny okrąg związany z trójkątem . Przechodzi on przez wierzchołki, a jego środek leży w przecięciu symetralnych boków.

Z wielu własności tego okręgu wymienię dwie:
1. Wybierając dowolny punkt na okręgu opisanym i rzutując prostopadle na trzy boki trójkąta (lub ich przedłużenia) otrzymamy trzy punkty współliniowe. Przechodząca przez nie prosta nazywa się prostą Simsona.
2. Twierdzenie Miguela:
Mamy 4 okręgi opisane na trójkątach utworzonych przez cztery proste przecinające się, wówczas okręgi te przechodzą zawsze przez wspólny punkt, a ich środki leżą na innym - piątym okręgu.

Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany w trójkątjest styczny do wszystkich boków trójkąta, a jego środek wyznacza punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Z twierdzenia Euklidesa wynika, że okrąg jest styczny przez odbicie w każdej średnicy. Stąd łatwo zauważyć, że średnica przechodząca przez wspólny punkt dwóch przecinających się stycznych - połowi kąt między nimi. Rozważając miejsce geometryczne punktów jednakowo odległych od par boków trójkąta widzimy, że dwusieczne wewnętrzne i zewnętrzne trzech kątów trójkąta przecinają się po trzy w czterech punktach.

Punkty te są środkami czterech okręgów, które można narysować stycznie do trzech prostych. Jeden z nich leży wewnątrz trójkąta, jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Pozostałe trzy są środkami okręgów dopisanych (tzn. Wpisanych w zewnętrze trójkąta).

Punkt Nagela

Proste łączące wierzchołki trójkąta z punktami styczności odpowiednich okręgów dopisanych, przecinają się w jednm punkcie, który nazywa się punktem Nagela.

Okrąg dziewięciu punktów

Okrąg Feuerbacha - przechodzi przez dziewięć punktów charakterystycznych trójkąta: spodki wysokości, środki boków i środki odcinków łączących punkt przecięcia się wysokości z wierzchołkami trójkąta

Twierdzenie:
Jednokładność o środku w ortocentrum trójkąta i skali -0,5 przekształca okrąg opisany na trójkącie na okrąg przechodzący przez następujące dziewięć punktów spodki wysokości, środki boków i środki odcinków wysokości między wierzchołkami a ortocentrum.

Twierdzenie:
Okrąg dziewięciu punktów jest styczny do okręgu wpisanego w trójkąt i do trzech jego okręgów dopisanych.

Okręgi Torricellego

Na bokach AB, BC, CA. trójkąta ABC zbudowano trójkąty równoboczne tak, że wierzchołki leżą na zewnątrz trójkąta ABC. Okręgi opisane na skonstruowanych trójkątach równobocznych nazywamy okręgami Torricellego.

Twierdzenie:

Okręgi Torricellego przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywamy punktem Torricellego.

Bibliografia:
1. Coxeter H. S. M., Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa 1967 r.
2. Zetel S. I., Geometria trójkąta, PZWS, Warszawa 1904 r
3. Szurek M., Opowieści geometryczne, WSiP, Warszawa 1995 r.
4. Łuczyński M. Opial Z., O konstrukcjach trójkątów, PZWS, Warszawa 1904 r
5. Krygowska Z., Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie, PWN, Warszawa 1958 .
6. Iwaniec T., Geometria okręgów i sfer, Biblioteczka Delty, Warszawa 1980 r.

 

Opracowanie: Izabela Leśniewska

Wyświetleń: 2794