Niedziesiątkowe systemy liczbowe, Matematyka, Artykuły

Niedziesiątkowe systemy liczbowe

Systemem liczbowym nazywamy sposób zapisywania liczb oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie działań na tych liczbach. Dla dowolnego systemu liczenia istnieje zbiór znaków, za pomocą których tworzy się liczby. Ze względu na sposób zapisu można je podzielić na dwie grupy:

1) Systemy pozycyjne
2) Systemy niepozycyjne (addytywne).

Ad.1.
Są to systemy, w których wartość liczbowa cyfry zależy od jej umiejscowienia (pozycji) w liczbie. Ilość różnych cyfr systemu nazywa się jego podstawą. Nazwijmy ją q. Wtedy zapis
akak-1...a1a0 ma wartość liczbową a0+a1q+a2q2+...+akqk, gdzie a0, a1,. .., ak są cyframi, a kolejne potęgi podstawy systemu q nazywa się rzędami.
Przykład:

W systemie dwójkowym (zwanym też binarnym) używa się cyfr: 0 i 1 (dwóch, bo tyle wynosi wartość q dla tego systemu).
1011₍₂₎ = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20

Analogicznie w innych systemach:
10221₍₃₎ = 1 x 3⁴ + 0 x 3³ + 2 x 3² + 2 x 3¹ + 1 x 3⁰,
3341₍₅₎ = 3 x 5³ + 3 x 5² + 4x 5¹ + 1 x 5⁰,
54360₍₆₎ = 5 x 7⁴ + 4 x 7³ + 3 x 7² + 6 x 7¹ + 0 x 7⁰, itd.

W pozycyjnych systemach liczbowych o podstawie większej od 10 do zapisu liczb wprowadza się nowe znaki na oznaczenie dodatkowych cyfr. Najbardziej popularnym z nich jest system szesnastkowy (zwany heksadecymalnym), gdzie oprócz cyfr 0, ..., 9 używa się liter A,. .., F; przy czym A= 10, B= 11, C= 12, D= 13, E= 14, F= 15.
Przykład:
4F₍₁₆₎ = 4 x 16¹ + 15 x 16⁰,
DFD₍₁₆₎ = 13 x 16² + 15 x 16¹ + 13 x 16⁰, itd.

Należy zaznaczyć, że liczby zachowują swoje własności bez względu na to, w jakim układzie rachunkowym są napisane: liczby pierwsze pozostają pierwszymi, liczby złożone - złożonymi; podzielne przez 3 - podzielnymi przez 3 itd.

Dwójkowy system liczenia jest powszechnie stosowany w komputerach, ponieważ cyfry 0 i 1 łatwo jest realizować technicznie:

a) w przewodniku płynie prąd (cyfra 1), nie płynie (cyfra 0),
b) cyfry 0 i 1 można łatwo interpretować jako wartości logiczne zdań: 1- zdanie prawdziwe, 0 - zdanie fałszywe,
c) algorytmy działań w systemie dwójkowym są prostsze niż w innych systemach.
Z tego względu wszystkie urządzenia liczące przechodzą od zapisu liczb w systemie dziesiątkowym do zapisu binarnego; po wykonaniu obliczeń następuje ponowna zamiana na system dziesiątkowy.

Ad.2.
W addytywnych systemach liczbowych wartość przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Do takich systemów należą: hieroglificzny, alfabetyczny i najbardziej znany rzymski, którego znaki używane są często do zapisywania miesięcy. System ten nie zawiera zera, jest oparty na zasadzie piątkowej i zawiera specjalne znaki:

	I,	V,	X,	L,	C,	D,	M,
które oznaczają kolejno:	1,	5,	10,	50,	100,	500,	1000.

Używając tych znaków można zapisać liczby od 1 do 3999 według następujących reguł:
a) zaczynamy od znaków oznaczających największą liczbę, a następnie piszemy coraz mniejsze liczby,
b) obok siebie mogą być zapisane najwyżej trzy identyczne znaki spośród: I, X, C lub M,
c) obok siebie nie mogą być zapisane dwa identyczne znaki spośród: V, L lub D,
d) wartości znaków sumujemy, np. CXXIII = 100 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 123
e) według tych zasad nie można zapisać liczb: 4, 9, 40, 90, 400, 900. Dla tych liczb obowiązują dodatkowe reguły, stanowiące wyjątek od reguły a):
f) każdą z liczb 4, 9, 40, 90, 400, 900 zapisujemy pisząc mniejszą liczbę przed większą i odejmując tę mniejszą od większej: IV = 5 - 1 = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400,
CM = 900,
g) każdy z zapisów: IV, IX, XL, XC, CD, CM w zapisie jednej liczby może być użyty tylko jeden raz, np.
MCM = 1000 + (1000 - 100) = 1900,
MXC = 1000 + (100 - 10) = 1090.
Nieprawidłowe są więc zapisy:
IVIV = (5 - 1) + (5 - 1) = 8
XM = 1000 - 10 = 990

System rzymski przetrwał do dziś, natomiast hieroglificzny system był używany w starożytnym Egipcie, a starożytni Grecy używali alfabetycznego systemu liczbowego.
W hieroglificznym systemie liczbowym liczby oznaczano hieroglifami; był to system oparty na zasadzie dziesiętnej, ale bez zera.

W alfabetycznym systemie liczbowym liczby oznaczone są literami alfabetu. System ten też jest oparty na zasadzie dziesiętnej i bez zera.

Na całym świecie ludzie liczą w systemie dziesiątkowym. Stało się to za pewne dlatego, że posiadamy dziesięć palców u rąk i tyleż u nóg. Zanim system dziesiątkowy stał się systemem powszechnym, różne plemiona i narody posługiwały się innymi systemami. Np. system dwójkowy spotykano (co prawda w bardzo niedoskonałej formie) u niektórych plemion Australii i Polinezji, układ piątkowy zaś u indiańskiego plemienia Szoszonów w Południowej Ameryce. Występował on również w języku Wedau na Nowej Gwinei. Starożytni Majowie (I w. p.n.e.) używali układu dwudziestkowego.

Pozostałość niektórych systemów spotykamy do dnia dzisiejszego. Np. zastosowanie systemu dwunastkowego znajdujemy w podziale roku na 12 miesięcy. Dzień i noc mają po 12 godzin. W handlu przetrwała jednostka tuzin. W miarach czasu i kąta zachował się częściowo system sześćdziesiątkowy, pochodzący od Babilończyków.

Opracowanie: Maria Michalska


	Awans	Informacje	Forum	Dla nauczyciela	Dla ucznia	Korepetycje	Sklep