Liczby ujemne.

Znane od starożytności, czy to pomysł współczesny?

Historia liczb ujemnych jest jednym z ciekawszych rozdziałów w dziejach myśli matematycznej. Ilustruje ona proces rozwoju pojęć matematycznych, świadczy o współzależności zachodzącej pomiędzy rozwojem społecznych sił wytwórczych a postępem matematyki, potwierdza wreszcie tę podstawową tezę, że ostatecznym kryterium wartości teorii jest praktyka: ludzkość dopóty broniła się przed uznaniem liczb ujemnych, dopóki nie wyłoniły się konkretne, uzasadnione potrzebami społecznej praktyki wytwórczej zastosowania tych liczb.

Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera. O liczbach ujemnych wspomina po raz pierwszy chiński traktat Matematyka w dziewięciu księgach z II w. p.n.e. Starożytni greccy matematycy nie zajmowali się liczbami względnymi. Grecy za liczby uważali tylko liczby naturalne. Nawet ułamki, choć były im dobrze znane, traktowali jako jednostki niższego rzędu. Dopiero D i o f a n t o s z Aleksandrii (przełom III i IV w n.e.) jako pierwszy z matematyków greckich potraktował ułamki na równi z innymi liczbami.

Diofantos rozróżniał także liczby "dodawane" i "odejmowane", znał też reguły mnożenia takich liczb, ale ograniczał się do przypadków, w których odjemna jest większa od odjemnika. Na rozpatrywane równania narzucał takie warunki, przy których pierwiastki były dodatnie. Pierwiastki ujemne, jeżeli takie występowały, uważał za niedopuszczalne i po prostu je odrzucał.

Nieco dalej posunęła się w zakresie arytmetyki liczb względnych matematyka hinduska. B r a h m a g u p t a (ur. w 598 r.) używał w rachunkach odpowiednika dzisiejszych liczb ujemnych, ale oznaczał je za pomocą punktu stawianego nad liczbą, nie jak dziś - "minusa" przed liczbą. Matematycy hinduscy stosowali nadto odrębne nazwy do oznaczania liczb dodatnich i ujemnych; nazwy te są odpowiednikami naszych słów "majątek" i "dług". Matematycy hinduscy znali wreszcie ujemne pierwiastki równań, ale najczęściej je opuszczali, uzasadniając to tym, że "ludzie nie znają liczb ujemnych".

Upłynęło wiele wieków, zanim dopiero w wieku XIII, a zwłaszcza w końcu wieku XV, matematycy zainteresowali się powtórnie liczbami ujemnymi, znajdując dla nich liczne zastosowania. W ten sposób dopiero po dziewięciu wiekach liczby ujemne zaczęły przenikać do matematyki. Stało się to dlatego, ponieważ na przestrzeni XI - XV wieku w Europie nastąpił ogromny rozwój feudalnego systemu produkcji: wzrósł społeczny podział pracy, rzemiosło oddzieliło się od rolnictwa, powstały miasta, a wraz z tym wewnętrzne rynki. W związku z rozwojem handlu zewnętrznego wśród Europejczyków wzrosło zainteresowanie Wschodem. Nastąpił ogromny rozwój gospodarczy, kulturowy, dokonano wielu nowych odkryć. Jednak z czasów do XI w nie pozostały żadne ślady twórczości matematycznej w Europie. Dopiero w pierwszej dekadzie XIII wieku L e o n a r d z P i z y, inaczej: F i b o n a c c i, opracował znakomite jak na owe czasy dzieło Liber Abaci, w którym zestawił najważniejsze wiadomości z dziedziny rachunku. F i b o n a c c i nie uznawał liczb ujemnych, ale w wydanej około 1225r rozprawie zaznaczył, że rozwiązanie pewnego zadania z rachunku spółek, które prowadziło do równania kwadratowego, mającego jeden pierwiastek ujemny miałoby sens, gdyby jeden ze wspólników zamiast kapitału miał dług.

Pod koniec wieku XV przenikają do matematyki z praktyki kupieckiej znaki + i -, i to dość powszechnie, bo zjawiają się niemal jednocześnie w wielu ówczesnych rękopisach. W druku użyto znaków + i - po raz pierwszy w pochodzącym z r. 1489 niemieckim podręczniku rachunków J o h a n n e s a W i d m a n a. Autor wyjaśnia nawet że: "- to mniej, a + to jest więcej". Z treści podręcznika wynika, że znaki te przeniknęły do matematyki z praktyki kupieckiej i oznaczać miały nadmiar lub brak wagi. Widman biegle operuje znakami + i - i traktuje je już nie tylko jako symbole działań, ale jako symbole znaków poprzedzających liczby i wyrażenia.

Włoch L u c a P a c i o l i w swoich rozprawach wydanych w 1494r podaje reguły działań arytmetycznych na liczbach dodatnich i ujemnych, ale nie używa jeszcze znaków + i -. Reguły te są ujęte czysto formalnie; np. dla mnożenia mamy taką regułę:

Plus razy plus czyni zawsze plus,
Minus razy minus czyni zawsze plus,
Plus razy minus czyni zawsze minus,
Minus razy plus podobnie także minus.

Jest rzeczą ciekawą, że w wydanym niemal równocześnie, bo w roku 1474, dziele francuskiego autora N i k o l a s a C h u q u e t a autor ujemne rozwiązania zadań traktuje już na równi z dodatnimi, dodając przy tym dość stanowczo: "chociażby nawet inni autorzy mieli takie rozwiązanie za niemożliwe".

Mimo tak dalekiego postępu w uznaniu liczb ujemnych, niektórzy dalej nazywali je liczbami fałszywymi, absurdalnymi, fikcyjnymi.

Pierwszym matematykiem, który nieco uporządkował arytmetykę liczb względnych był zakonnik M i c h a e l S t i f e l (1486-1567). Nie uznawał on wprawdzie ujemnych pierwiastków równań, a same liczby ujemne nazywał absurdalnymi, ale jego zasługą jest wyraźne rozszerzenie pojęcia liczby przez wprowadzenie takich liczb, które "są mniejsze niż nic".

Współczesny Stifelowi, Włoch G e r o n i m o C a r da n o (1501-1576), nazywa wprawdzie liczby ujemne liczbami fikcyjnymi, ale pierwszy w dziejach matematyki nie odrzuca ujemnych pierwiastków równań stopnia drugiego i trzeciego. Stanowisko takie nie było jednak jeszcze powszechnie przyjęte w matematyce. W końcu wieku XVI wielki algebraik francuski

F r a n c o I s V i e t e (1540-1603) odrzucał ujemne pierwiastki równań, a Anglik T h o m a s H a r r i o t (1560-1621) sądził nawet, iż równania nie mogą mieć rozwiązań ujemnych.

Zdecydowany przełom w stosunku do liczb ujemnych nastąpił w matematyce dopiero w wieku XVII. Niemiecki matematyk P e t e r R o t h e i Flamandczyk A l b e r t G i r a r d wyraźnie uznają pierwiastki ujemne.

Z pomysłów Girarda korzystał K a r t e z j u s z, który uznawał ujemne pierwiastki równań, ale nazywał je fałszywymi.

Wyjaśnienie tej sprawy przyniósł dopiero wiek XVIII. Wielki matematyk i fizyk
I s a a k N e w t o n w swoim dziele wyraźnie napisał: "wielkości bywają bądź dodatnie, czyli większe niż nic, bądź ujemne, czyli mniejsze niż nic". Ciekawe jest, że jeszcze Newton uznawał zero za "nic".

Z historią liczb ujemnych wiążą się także nazwiska innych wielkich matematyków wieku XVIII: L e i b n i t z a (1646-1716), M a c l a u r i n a (1698-1746), d `A l. e m b e r t a (1717-1783).

Nowoczesne ujęcie arytmetyki liczb względnych przyniósł dopiero wiek XIX.

Opracowanie: Maria Michalska

Wyświetleń: 11240