Awans Informacje Forum Dla nauczyciela Dla ucznia Korepetycje Sklep
  [ Zaloguj się ]   [ Załóż konto ]
  Najczęściej szukane
Konspekty
Programy nauczania
Plany rozwoju zawodowego
Scenariusze
Sprawdziany i testy
  Media
Przegląd Prasy
Patronat
Medialny
Po godzinach
  Slowka.pl
Słówka na email
Język angielski
Język niemiecki
Język francuski
Język włoski
Język hiszpański
Język norweski
Język japoński
Język rosyjski
Gramatyka
Rozmówki

Beata Gorzkowska
Matematyka, Scenariusze

Problemy z nieskończonością

- n +

Problemy z nieskończonością

Do nieskończoności w sposób istotny odwołujemy się po raz pierwszy przy omawianiu granic ciągów. Jak wykazuje praktyka szkolna jest to zagadnienie sprawiające uczniom wiele trudności, szczególnie w pierwszych kontaktach. Ponieważ często to co nas szokuje na długo pozostaje w naszej pamięci, proponuję wykorzystać ten fakt na kółku matematycznym lub na zajęciach fakultatywnych i poszerzyć nieco pojęcie nieskończoności na bazie teorii mnogości.

Temat lekcji: problemy z nieskończonością
Cele:
- uświadomienie uczniom, że znanych własności działań na liczbach skończonych nie można bezwiednie przenosić na czynności nieskończone
- zapoznanie z pojęciem zbioru przeliczalnego
- zapoznanie z pojęciem i podstawowymi własnościami liczb pozaskończonych
Przebieg lekcji:

I
Wprowadzamy uczniów w temat stawiając na początku pytanie: jak sądzicie ile wynosi poniższa suma
1-1+1-1+1-1+1-1+...
Podczas dyskusji możemy zaproponować wstawienie nawiasów
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= (1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1) +. ..= 0+0+0+0+...= 0
a chwilę później
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= 1 - (1-1) - (1-1) - (1-1) -. ..= 1 - 0 - 0 - 0 - ... = 1
Przed tak postawionym problemem uczniowie są bezradni. Otrzymali zgoła sprzeczne wyniki choć stosowali ogólnie znane własności działań na liczbach! Co bardziej rezolutni szybko dochodzą do wniosku, że nie wolno bezpośrednio przenosić działań na liczbach skończonych na szeregi.
W tym miejscu powinniśmy zwrócić uwagę, że znamy też całkiem "porządne" szeregi, choćby szereg:
0,3+0,03+0,003+0,0003+0,00003+...
Gimnazjaliści znają prosty sposób zamiany ułamka okresowego na zwykły bez wprowadzania własności szeregu. Poprośmy by obliczyli powyższą sumę.
0,333...= x /*10
3,33...= 10x
po odjęciu stronami otrzymujemy
3 = 9x
x = 1/3
Podczas omawiania zamiany ułamków okresowych na zwykłe uczniowie nie kryją swojego zaskoczenia i jeśli tylko zaakceptują fakt, że pomimo ewidentnych kopek czyli działania nieskończonego, możemy policzyć wartość tej sumy, generalnie nieskończoność od tej chwili nie nastręcza im większych kłopotów.

II
W dalszej części lekcji prosimy uczniów o przypomnienie pojęcia zbioru, podanie przykładów zbiorów skończonych i nieskończonych. Następnie metodą pogadanki rozwijamy temat. Stawiamy przed nimi następujący problem: naturalnym jest dla nas stwierdzenie, że zbiór czteroelementowy jest większy od zbiory dwuelementowego. Ale czy zbiór liczb naturalnych jest większy od zbioru wszystkich liczb parzystych? Czy w ogóle mamy prawo porównywać zbiory nieskończone? Czy istnieją różne nieskończoności?
Nauczyciel wprowadza werbalnie dwie definicje z teorii mnogości:
Dwa zbiory nazywamy równolicznymi jeśli można między nimi ustalić takie odwzorowanie, które każdemu elementowi jednego z nich przyporządkuje jeden i tylko jeden element drugiego (jest to tzw. odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne).
Liczba kardynalna to liczba mocy (ilości elementów) zbioru. Przykładowo liczbą kardynalną zbioru dwuelementowego jest 2, a zbioru pustego 0.

Przyjrzyjmy się teraz następującym zbiorom:
A= {1,2,3,...,n,...}
B= {2,4,6,...,2n,...}
Uczniowie zauważają, że są to oczywiście zbiory pozaskończone. Na pytanie czy potrafią wskazać pomiędzy nimi odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne powinni bez większych wahań określić przyporządkowanie jak poniżej:

A zatem zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb parzystych! Zbiór nieskończony B stanowiący podzbiór właściwy innego nieskończonego zbioru A jest z nim równoliczny! Oba te zbiory są równej mocy, choć zbiór B otrzymaliśmy ze zbioru A w wyniku usunięcia wszystkich liczb nieparzystych. Dodajmy, że moc obu tych zbiorów oznaczył Cantor, twórca teorii mnogości, pierwszą literą alfabetu hebrajskiego א (czyt. alef zero).
Wniosek: א jest najmniejszą z liczb nieskończenie wielkich.

III
Uczniowie poznali już pierwszą liczbę kardynalną. Proponujemy teraz bliżej przyjrzeć się innemu zbiorowi nieskończonemu, a mianowicie liczbom wymiernym. Stawiamy pytanie: co można powiedzieć o mocy takiego zbioru? Czy jest on większy od zbioru liczb naturalnych?
Nauczyciel buduje na tablicy macierz

Zauważamy, że przebiega ona cały zbiór liczb wymiernych.
Dalej, za Cantorem zapisujemy tę macierz w postaci trójkąta idąc po przekątnej:


Stąd łatwo już otrzymać ciąg ułamków (wyrzucamy oczywiście po drodze te, których wartość jest równa wartości jakiegokolwiek ułamka poprzedzającego):

Teraz możemy już postawić zasadnicze pytanie: ile wynosi moc zbioru liczb wymiernych dodatnich?
Jeśli uczniowie będą mieli problem z odpowiedzią można poprosić o poszukanie odwzorowania wzajemnie jednoznacznego pomiędzy liczbami naturalnymi a powyższym zbiorem ciągu ułamków (wystarczy jedynce przyporządkować pierwszy ułamek, dwójce - drugi, trójce - trzeci, itd.).

Do pełni szczęścia brakuje jeszcze ułamków ujemnych. Dlatego rozszerzamy naszą macierz do postaci:


I w sposób analogiczny idąc po przekątnych otrzymujemy ciąg:

Wniosek:
nieskończenie wiele razy po nieskończenie wiele ułamków rozsianych gęsto pomiędzy liczbami całkowitymi tworzy zbiór którego moc równa się jednak tylko mocy zbioru liczb naturalnych!

V
Powstaje naturalne pytanie: czy nieskończoność może nie być przeliczalna? Geogr Cantor jako pierwszy wykazał, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny. Moc tego zbioru jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych i została oznaczona przez € (czyt. continuum). Jako zadanie domowe prosimy by uczniowie poszukali w literaturze w jaki sposób można udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

VI
Podsumowując lekcję
wspólnie z uczniami nauczyciel wyprowadza kilka nasuwających się z lekcji własności liczb kardynalnych:



Wyniki na długo pozostaną w pamięci ucznia! Bardziej ambitnych można poprosić o poszukanie w literaturze pojęcia iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów a następnie zbadanie własności iloczynu liczb kardynalnych.


Literatura
K. Kuratorski "Wstep do teorii mnogości i topologii"
H. Rasiowa "Wstep do matematyki współczesnej"

Opracowanie: Beata Gorzowska

Zgłoś błąd    Wyświetleń: 1543
 
   Komentarze
Jeszcze nie ma żadnych komentarzy, Twój może być pierwszy!

Dodaj komentarz
  Barometr
1 2 3 4 5 6  
Oceń artukuł!



Ilość głosów: 0
  Publikacje

Nowe zasady publikacji
Szukaj autora i tytuł
Ostatnio dodane materiały
Ranking publikacji 
Najczęściej zadawane pytania
  Twoje konto
Zaloguj się
Załóż konto
Zapomniałem hasła
  Forum
Nauczyciel - awans zawodowy
Matura
Korepetycje
Ogłoszenia - kupię, sprzedam, oddam


O Profesorze - Napisz do Nas - Reklama - Polityka prywatności - Najczęściej zadawane pytania - Zgłoś błąd

2000-2014