Rozwiązywanie zadań - problemów

Zadania matematyczne spełniają w procesie nauczania matematyki ogromną rolę. Ucząc ich rozwiązywania, warto znać odpowiedź na pytanie: Jakie funkcje spełniają w procesie nauczania matematyki?

Odpowiedź nie jest prosta. Niesie ona wiele różnorodnych problemów, którym poświęcona jest książka [1]. Upraszczając tę odpowiedź można powiedzieć, że zadania matematyczne służą jako środek do utrwalania zdobytych wiadomości i wyrabiania określonych umiejętności, są narzędziem do sprawdzania wyników nauczania, za ich pomocą możemy pokazywać zastosowania matematyki, kształcić wyobraźnię, logiczne myślenie, uczyć rozumowań matematycznych.

Dla potrzeb nauczania zadania dzieli się na ćwiczenia, zwykłe zastosowania teorii i zadania - problemy. Chociaż każdy z tych typów odgrywa w nauczaniu matematyki odpowiednią i ważną rolę, to jednak najbardziej cenne wydają się być zadania - problemy. Zofia Krygowska w pracy [1] tak je charakteryzuje: "Zadania, których rozwiązania nie
uzyska się na danym poziomie bez szczypty pomysłowości, bez szczypty choćby matematycznej wyobraźni, bo do ich rozwiązania nie wystarcza ani wiedza, ani sprawność techniczna, ani nawet doświadczenie w rozwiązywaniu typowych zadań".

Zadania - problemy posiadają na ogół wiele różnych sposobów rozwiązań, mogą pokazać uczniom matematykę nie tylko jako zbiór określonych treści i pewnych umiejętności, ale przede wszystkim kształcą aktywne podejście do różnych praktycznych problemów.

Nauczyciel powinien pomagać uczniowi w rozwiązywaniu zadań i problemów, ale ani zbyt dużo, ani zbyt mało, tak aby uczniowi pozostała odpowiednia, rozsądnie wybrana część pracy. Pomoc ta powinna być dyskretna, nienatarczywa, jeżeli uczeń nie jest w stanie zrobić wiele (pozostawić mu
złudzenie samodzielnej pracy). Najlepiej jest pomagać w sposób naturalny. Nauczyciel powinien postawić się na miejscu ucznia, zobaczyć jakie jest jego położenie, zrozumieć co dzieje się w jego umyśle i zadać mu takie pytanie lub wskazać mu taki krok w rozumowaniu, który mógłby
uczniowi samodzielnie przyjść na myśl.

G. Polya w [2] zebrał i pogrupował typowe pytania i wskazówki, które są pomocne przy omawianiu zadań z uczniami. Typowe operacje myślowe użyteczne przy rozwiązywaniu zadań spisał w kolejności, tworząc listę pytań i wskazówek.

Autor wyróżnia cztery fazy pracy:

I. Zrozumieć zadanie.
Uczeń powinien umieć płynnie sformułować zadanie. Powinien wskazać podstawowe elementy zadania:
niewiadomą, dane i warunek.
Pytania: " Co jest niewiadome?", " Co jest dane?", " Jaki jest
warunek?".
Jeżeli z zadaniem związana jest pewna figura uczeń powinien zrobić rysunek i wskazać na nim niewiadomą i dane.
Powinien wprowadzić odpowiednie oznaczenia poświęcając nieco uwagi właściwemu wyborowi symboli.
Jeszcze pytanie, które może być użyteczne na tym etapie pod warunkiem, że nie będziemy oczekiwać ostatecznej odpowiedzi " Czy warunek można spełnić?"

II. Zobaczyć jak poszczególne wielkości są ze sobą powiązane, jak łączy się niewiadoma z danymi, aby wyrobić sobie jakieś pojęcie o rozwiązaniu i zrobić pewien plan. Materiałami potrzebnymi do rozwiązania zadania matematycznego są pewne elementy poprzednio zdobytej wiedzy matematycznej, takie jak poprzednio rozwiązane zadania lub poprzednio udowodnione
twierdzenia. Dlatego też często należy pracę nad zadaniem rozpocząć od pytania "Czy znasz jakieś pokrewne zadanie?", "Czy znasz jakieś twierdzenie, które mogłoby tu być użyteczne?". Wskazówka do wyboru zadania pokrewnego: "Spójrz na niewiadomą! I spróbuj przypomnieć
sobie jakieś dobrze znane zadanie mające tę samą niewiadomą". Jeśli udało się je uczniowi przypomnieć to trzeba wyciągnąć z niego wiele korzyści. " Oto to rozwiązane już przedtem zadanie, pokrewne twojemu zadaniu. Czy mógłbyś z niego skorzystać?", "Czy mógłbyś skorzystać z zastosowanej w nim metody?".

Jeżeli powyższe pytania nie pomagają to musimy rozejrzeć się za innymi punktami styczności i zbadać różne aspekty zadania. Musimy zmieniać, przekształcać i modyfikować zadanie. "Czy nie mógłbyś postawić zadania na nowo, w inny sposób?", " Czy nie mógłbyś wymyślić jakiegoś bardziej dostępnego zadania pokrewnego? Bardziej ogólnego zadania? Bardziej specjalnego? Analogicznego? Czy nie mógłbyś rozwiązać części zadania? Zatrzymaj tylko część warunku, resztę odrzuć. Do jakiego stopnia niewiadoma jest wtedy określona, jak może się wtedy zmieniać?" Próbując korzystać z różnych znanych zadań czy twierdzeń, rozpatrując różne modyfikacje, eksperymentując z różnymi zadaniami pomocniczymi możemy oddalić się od zadania początkowego. Z powrotem przyprowadzimy ucznia pytaniem" Czy skorzystałeś ze wszystkich danych? Czy skorzystałeś z całego warunku?"

III. Wykonanie planu.
Plan daje nam ogólny szkic rozwiązania. Uczeń musi się przekonać, że wszystkie szczegóły mieszczą się w ramach tego szkicu. Przy wykonywaniu planu nauczyciel musi domagać się aby uczeń sprawdził każdy krok swojego postępowania. Ważne jest, żeby uczeń był przekonany o poprawności
każdego kroku. W pewnych przypadkach nauczyciel może podkreślić różnicę między "widzeniem" i "dowodzeniem": "Czy jest dla ciebie jasne, ze ten
krok twojego rozumowania jest poprawny? A czy potrafiłbyś także udowodnić, że ten krok jest poprawny?"

IV. Rzut oka wstecz.
Spoglądając wstecz na otrzymane rozwiązanie, ponownie rozpatrując i analizując wynik i drogę doń prowadzącą, uczniowie mogliby utrwalić swoją wiedzę i rozwinąć swoje zdolności do rozwiązywania zadań. Nauczyciel powinien wpoić pogląd, że żaden problem nigdy nie jest wyczerpany całkowicie. Badając problem dostatecznie wnikliwie możemy ulepszyć każde rozwiązanie a w szczególności udoskonalić zrozumienie rozwiązania. Uczeń mógł zrobić błąd, więc pożądane jest sprawdzenie "Czy możesz sprawdzić wynik? Czy możesz sprawdzić uzasadnienie rozwiązania?", "Czy możesz otrzymać wynik w inny sposób?". Wolimy rozwiązanie krótkie i intuicyjne,
niż długie i uciążliwe "Czy możesz objąć to jednym rzutem oka?".
Nauczyciel powinien zachęcić uczniów do zastanowienia się nad przypadkami, w których mogliby oni skorzystać z użytej tu metody rozwiązania lub z samego rozwiązania "Czy możesz wykorzystać wynik albo metodę rozwiązania do innego zadania?".

O ile celem zadania typu "znaleźć" było znalezienie pewnego obiektu, niewiadomej zadania, natomiast głównymi jego częściami były: niewiadoma, dane i warunek, a pytania i wskazówki zawierała lista, o której była mowa powyżej, to celem zadania typu "udowodnić" jest wykazać w sposób niezawodny, że pewne jasno sformułowane stwierdzenie jest prawdziwe, bądź jest ono fałszywe. Jeżeli, zadanie typu "udowodnić" jest zadaniem matematycznym zwykłego rodzaju, to jego głównymi częściami są: założenie i teza twierdzenia, które mamy udowodnić albo obalić. Istnieją użyteczne pytania i wskazówki dotyczące tych części, odpowiadające pytaniom i
wskazówkom listy, która jest specjalnie dostosowana do zadań typu "znaleźć": "Co jest założeniem? Co jest tezą? Wydziel poszczególne części założenia. Znajdź związek miedzy założeniem i tezę. Spójrz na tezę. I spróbuj przypomnieć sobie jakieś dobrze znane ci twierdzenie mające tę sama lub podobna tezę. Zatrzymaj tylko część założenia, resztę odrzuć. Czy teza jest w dalszym ciągu słuszna? Czy nie mógłbyś wydobyć czegoś pożytecznego z założenia? Czy nie mógłbyś rozpatrzyć innego założenia, z którego mógłbyś łatwo wyprowadzić tezę? Czy nie mógłbyś zmienić założenia albo tezy, tak aby nowe założenie lub nowa teza były bliższe sobie? Czy skorzystałeś z całego założenia?"

Uczeń, który już samodzielnie rozwiązuje zadania - problemy, zaczyna czuć się matematykiem na własną miarę, poddaje się urokowi pokonywania trudności. To bardzo ważny moment w "spotkaniach z matematyką". Aktywizacja tego typu może przyczynić się do stworzenia nowego podejścia do przedmiotu, rozwinąć zainteresowania oraz zaufanie do siebie samego. Lubimy poczucie, że udało nam się pokonać przeszkodę. Chce nadal to robić, a im więcej się tym zajmuje, tym sprawniej mu to idzie. Taka szansę stwarzamy uczniowi na lekcjach matematyki stawiając przed nim takie
zadania, które wymagają aktu twórczego i swoistej inwencji oraz rozwijają nowe elementy jego aktywności.

[1] Krygowska Z. ,Zarys dydaktyki matematyki, cz. 3, WSiP, Warszawa 1977.
[2] Polya G. ,Odkrycie matematyczne, WNT, Warszawa 1975.

Opracowanie: Halina Rybak-Gredka

Wyświetleń: 3088