Awans Informacje Forum Dla nauczyciela Dla ucznia Korepetycje Sklep
  [ Zaloguj się ]   [ Załóż konto ]
  Najczęściej szukane
Konspekty
Programy nauczania
Plany rozwoju zawodowego
Scenariusze
Sprawdziany i testy
  Media
Przegląd Prasy
Patronat
Medialny
Po godzinach
  Slowka.pl
Słówka na email
Język angielski
Język niemiecki
Język francuski
Język włoski
Język hiszpański
Język norweski
Język japoński
Język rosyjski
Gramatyka
Rozmówki

Beata Marcińska
Matematyka, Artykuły

Metody aktywizujące w nauczaniu matematyki w szkole podstawowej

- n +

Metody aktywizujące w nauczaniu matematyki w szkole podstawowej

1. Metoda czynnościowa.

Metodę czynnościową czasami mylnie utożsamia się z technikami nauczania poglądowego. Niektórzy wiążą jej stosowanie tylko z nauczaniem początkowym, inni ograniczają jej pole oddziaływania jedynie do szkoły średniej. Żaden z tych poglądów nie ma uzasadnienia, ponieważ stosowanie tej metody nie zależy ani od etapu kształcenia, ani od sekwencji stosowanych środków dydaktycznych na lekcji. Stosowanie metody czynnościowego nauczania matematyki zależy natomiast "od ścisłego zdefiniowania zależności pomiędzy istotą wprowadzanych, względnie modyfikowanych i wzbogacanych, pojęć matematycznych oraz charakterem i stylem metodycznego postępowania nauczyciela."

Zatem koncepcja czynnościowego nauczania matematyki opiera się z jednej strony na podstawach metodologicznych matematyki jako nauki, z drugiej zaś na psychologii procesu kształtowania się pojęć. Matematyka jako nauka i szkolny przedmiot, wyróżnia się wśród innych nauk min. abstrakcyjnością pojęć, specyficzną metodą rozumowania, którą jest dedukcja, oraz specyficznym językiem, werbalno - symbolicznym. Operatywny charakter pojęć matematycznych i podstawy psychologicznego procesu kształtowania się pojęć przyjęła Z. Krygowska w "Zarysie dydaktyki matematyki", charakteryzując koncepcję czynnościowego nauczania: "Czynnościowe nauczanie matematyki jest postępowaniem dydaktycznym uwzględniającym stale i konsekwentnie operatywny charakter matematyki równolegle z psychologicznym procesem interioryzacji prowadzącym od czynności konkretnych i wyobrażeniowych do operacji abstrakcyjnych. Czynnościowe nauczanie matematyki opiera się więc:
1) na wydobyciu przez analizę teoretyczną z materiału nauczania podstawowych operacji w każdej definicji, twierdzeniu, dowodzie,
2) na świadomym organizowaniu sytuacji problemowych sprzyjających procesowi interioryzacji i kształtowaniu myślenia matematycznego ucznia jako specyficznego działania, jako swobodnego i świadomego posługiwania się przyswajanymi stopniowo operacjami, oraz na konsekwentnym stosowaniu zabiegów dydaktycznych mających na celu zapewnienie prawidłowości i efektywności tego procesu..."


Z tej charakterystyki wynika, że podczas przygotowywania propozycji dydaktycznego opracowania pojęcia w sposób czynnościowy należy dokonać matematycznej analizy operacji tkwiącej w tym pojęciu (wyróżnić cały ciąg czynności prowadzących do konstrukcji jego desygnatów). Równolegle należy - uwzględniając prawidłowości psychologiczne - zaplanować różnego rodzaju ćwiczenia pozwalające uczniowi przebyć drogę od czynności konkretnych, poprzez wyobrażeniowe do abstrakcyjnych.

Z. Krygowska charakteryzuje szereg zabiegów dydaktycznych, które mają na celu zapewnienie prawidłowości i efektywności kształcenia z użyciem metody czynnościowego nauczania matematyki. Są to wskazania bardziej szczegółowe. Mają one na celu ukazanie sposobów realizacji przede wszystkim pierwszej zasady, związanej z operatywnym charakterem matematyki. Są to następujące zalecenia:
a) Wiązanie treści matematycznych z wyraźnie formułowanymi schematami postępowania (np. definicje genetyczne; reguły wynikające z twierdzeń, "jak to mogę wykorzystać?" itp.).
b) Wiązanie operacji z operacjami do nich odwrotnymi.
c) Wiązanie operacji z różnych dziedzin matematyki w bardziej złożone schematy.
d) Uwzględnianie różnych ciągów operacji prowadzących do tego samego rezultatu (np.. czynnościowa interpretacja "dwustronna" wzorów algebraicznych, ujawnianie równoważności pewnych definicji, omawianie różnych sposobów rozwiązywania tego samego zadania itp.).
e) Stawianie ucznia w sytuacjach konfliktowych, w których przyswojone mu schematy postępowania zawodzą i w których uczeń musi bądź dokonać przekształcenia (adaptacji) dawnego schematu, lub wypracować nowy.
f) Opis słowny operacji, którymi uczeń myśli, szczególniej w niższych klasach (co robię?).
g) Algorytmizacja rozwiązania zadania z zastosowaniem różnych form zapisu (drzewa i inne organigramy) tam, gdzie to jest celowe i możliwe.
Właściwe i celowe wiązanie czynności konkretnych (zapis symboliczny, rysunek, czynności rzeczywiste wykonywane na przedmiotach materialnych) z myślowymi operacjami,
i) Konsekwentne uczenie swobodnego posługiwania się poznanymi operacjami i przyzwyczajanie ucznia do tego, ze tylko określone planowe działanie, a nie bierna kontemplacja i oczekiwanie na "natchnienie" prowadzi do rozwiązania zagadnienia np. uczenie korzystania z lektury matematycznej zawsze z ołówkiem w ręku i kartką papieru, z tłumaczeniem tekstu słownego na ciąg operacji konkretnie lub symbolicznie wykonywanych, a nie biernie i wielokrotne czytanie tego tekstu przy zupełnym jego niezrozumieniu,
j) Zwrócenie uwagi na to, aby stosowana symbolika miała również charakter operatywny, aby wizualnie sugerowała operację (np. strzałki jako symbol przyporządkowania)."


Można zauważyć, iż niektóre zalecenia mają charakter ogólny i odnoszą się w ogóle do metody nauczania czynnościowego. Niektóre natomiast mają charakter instrumentalny i stanowią podstawę do uzyskania narzędzi do prawidłowego planowania propozycji metodycznych czynnościowego nauczania wybranego tematu matematyki szkolnej.

H. Siwek proponuje dość obszerną listę typów ćwiczeń realizujących scharakteryzowane powyżej zabiegi. Dokonuje niejako przekładu opisu tych zabiegów na język czynności. Lista ta zawiera 7 następujących zadań:
1. Ćwiczenia "wprost", w których uczeń wykonuje proste czynności prowadzące do konstrukcji na przykład desygnatów pojęcia.
2. Ćwiczenia odwrotne do powyższych, które wymagają wykonania czynności odwrotnej lub ciągu czynności odwrotnych do poprzednich.
3. Ćwiczenia tej samej czynności myślowej na różnych materiałach, w różnych sytuacjach, z zastosowaniem różnych zmiennych, w różnych położeniach.
4. Ćwiczenia, które prowadzą do różnych ciągów czynności o takim samym rezultacie, różne sposoby rozwiązania, racjonalny wybór schematu jako najbardziej odpowiedniej i ekonomicznej drogi, która prowadzi do rozwiązania zagadnienia.
5. Ćwiczenia w słownym opisie czynności danego rodzaju, konstruowanie planów postępowania opisujących schematy czynności prowadzących do tworzenia przykładów definicji, zastosowania twierdzeń, tworzenia schematów sprawozdawczo - antycypacyjnych, opisywanie przedmiotu abstrakcyjnego za pomocą ciągu myślowych czynności, jako wyniku czynności konkretnych i wyobrażeniowych.
6. Ćwiczenia, które prowokują konflikt myślowy takiego poziomu, że dziecko chce i może go pokonać, kontrprzykłady, skrajne przypadki, zadania z błędami uwypuklające istotne warunki definicji, założenia twierdzeń.
7. Ćwiczenia w różnych formach przedstawiania, ilustrowania albo zapisu tego samego zadania, opisy tradycyjne, drzewka.

Należy zauważyć, że zgodnie z koncepcją czynnościowego nauczania matematyki należy zaplanować ćwiczenia wymienionych typów na poziomie operacji konkretnych, wyobrażeniowych oraz abstrakcyjnych.

Dla zilustrowania zasad czynnościowego nauczania matematyki posłużę się przykładem pojęcia figury osiowo - symetrycznej opisanym przez Helenę Siwek w książce "Czynnościowe nauczanie matematyki".

W definicji formalnej czynności, które prowadzą do wniosku, iż dana figura jest osiowo - symetryczna są następujące:
- pokazanie prostej, która może być osią symetrii danej figury,
- przekształcenie tej figury przez symetrię osiową względem pokazanej prostej,
- sprawdzenie, czy figura początkowa i uzyskany w wyniku przekształcenia przez symetrię osiową obraz są identyczne.

Czynności, które są tak istotne do powstania tego pojęcia w umysłach uczniów, zawarte powinny być w zadaniach na różnych poziomach abstrakcji, oraz powinny być uwzględniane w procesie nauczania - uczenia się. Chodzi tu o poziomy czynności konkretnych, wyobrażeniowych oraz abstrakcyjnych, które winny wystąpić w tej metodzie. "Poziomy czynności konkretnych, wyobrażeniowych oraz abstrakcyjnych są relatywne, zależne od przyjęcia jednego z nich jako podstawy odniesienia dla pozostałych". Jeśli za czynności konkretne przyjmiemy wycinanie figury osiowo - symetrycznej z kartki papieru po zgięciu wzdłuż osi symetrii.

Analiza teoretyczna operacji tkwiących w pojęciu figury osiowo - symetrycznej ujawnia trzy rodzaje czynności, które prowadzą do stwierdzenia, iż figura jest osiowo symetryczna. "Pierwsza czynność - to wskazanie prostej - kandydatki na oś symetrii, druga czynność - to przekształcenie figury przez symetrię osiową względem tej prostej i trzecia - to sprawdzenie, czy figura otrzymana w wyniku przekształcenia przez symetrię osiową jest identyczna z wyjściową figurą." Tak więc zestawy zadań powinny być tak zaplanowane, aby prowokowały kolejne wykonanie czynności na tych trzech poziomach: czynności konkretnych, w kolejnym etapie czynności wyobrażeniowe, a następnie czynności abstrakcyjne.

Dla przykładu podamy listę zadań kształtujących pojęcie figury osiowo symetrycznej w koncepcji czynnościowego nauczania.

1) Zadania prowokujące czynności konkretne:


Zadanie 1.
Wskaż w klasie przedmioty posiadające osie symetrii. Pokaż te osie. Ile osi symetrii posiada wskazana figura.

Zadanie 2.
Prostokątną kartkę od bloku zegnij na pół. Na jednej połowie namaluj domek. Obróć kartkę na drugą stronę i nie patrząc na to co narysowałeś, spróbuj odtworzyć obrazek symetryczny do narysowanego wcześniej. Nałóż na siebie połówki i sprawdź pod światło, czy dobrze dorysowałeś drugą część rysunku.

2) Zadania prowokujące czynności wyobrażeniowe:


Zadanie 1.
Narysuj kilka osi symetrii oraz ponumeruj je kolejno (kwadrat, trapez równoramienny, koło). Ile osi symetrii ma: kwadrat, trapez równoramienny, ma koło?

Zadanie 2.
Narysuj wszystkie osie symetrii odcinka XY. Uzupełnij, wpisując wyrazy: proste, środek, prostopadła, dwie, zawierająca.

Osiami symetrii odcinka są.............................................., a mianowicie: prosta................................... ten odcinek, a także prosta do niego.............................. i przechodząca przez ....................... tego odcinka.

3) Zadania prowokujące czynności abstrakcyjne:


Zadanie 1.
Ile osi symetrii ma:
a) punkt,
b) półprosta,
c) prosta,
a) figura złożona z dwóch prostych,
b) figura złożona z dwóch okręgów o różnych promieniach, przecinających się w dwóch punktach,
c) figura złożona z dwóch okręgów o równych promieniach, które nie mają punktów wspólnych,
d) figura złożona z dwóch okręgów współśrodkowych?
Każdą odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 2.
Czy twierdzenie: Jeżeli prosta k jest prostopadła do prostej l, to prosta k jest osią symetrii prostej l jest prawdziwe? Wyróżnij założenie i tezę tego twierdzenia. Sformułuj twierdzenie odwrotne do danego. Czy jest ono prawdziwe?

Łatwo można zauważyć, że " czynności konkretne ucznia związane są z modelami figur, z konkretnymi przedmiotami.... Uczeń poprzez manipulacje stwierdza, czy figura jest osiowo - symetryczna. Opisując, jak otrzymuje oś symetrii figury, podaje konkretne czynności."

Zadania wyobrażeniowe opierają się już na rysunkach bardziej złożonych, które posiadają skończoną bądź nieskończoną liczbę osi symetrii. "Uczeń w oparciu o doświadczenia wyniesione z poziomu operacji konkretnych przewiduje, czy dana prosta może być osią symetrii i na drodze obrazowej, wizualnej stwierdza, czy dana figura po przekształceniu przez symetrię osiową względem tej prostej nakłada się na siebie." Te zadania są podstawą do tworzenia się schematu, który jest potrzebny do rozwiązywania zadań prowokujących czynności abstrakcyjne.

"Z każdym zestawem zadań doświadczenie ucznia coraz bardziej się wzbogaca, język opisu zmienia się z konkretnego, poprzez obrazowy, intuicyjny na ścisły, matematyczny, operujący pojęciami abstrakcyjnymi."

H. Siwek podkreśla, iż stosowanie metody czynnościowej w nauczaniu matematyki nie jest sprawą prostą. Zarazem teoretyczna analiza czynności, które są istotne dla nowego pojęcia, dla odkrycia, czy też udowodnienie twierdzenia, jak również dobór zadań na poziom czynności konkretnych, wyobrażeniowych oraz abstrakcyjnych, zależne są od poziomu nauczania, na jakim chcemy dane twierdzenie czy pojęcie wprowadzić. Jeżeli zaplanujemy np. rozwiązywanie równań z uczniami klas szkoły podstawowej, to wystąpią w tej sytuacji zupełnie inne czynności niż, gdy będziemy rozwiązywać równania w klasach gimnazjalnych czy też w szkole średniej. Podobnie będzie z przekształceniami geometrycznymi. Z metodologicznego punktu widzenia ważne jest to, by uwzględnić w nauczaniu budowanie kolejnych pięter abstrakcji, konstruowanie pojęć na pojęciach. To z kolei implikuje wielopoziomowość w stosowaniu metody czynnościowej.

1.2 Heurystyczna metoda Polya.


Termin "heurystyka" pochodzą od greckiego słowa "heurīskō = znajduję", które oznaczało umiejętność dokonywania odkryć. Powstała wśród sofistów w starożytnej Grecji, to "sztuka dyskutowania zmierzającego do wykrycia prawdy."

W pedagogice to sposób organizowania nauki szkolnej polegający na naprowadzaniu uczniów na drogę samodzielnych poszukiwań i mniej lub więcej samodzielnego rozwiązywania zagadnień, wymagający aktywnej postawy ucznia i rozwijający samodzielność jego myślenia.

George Polya, któremu zawdzięczamy zapoczątkowanie współczesnego nurtu badań heurystycznych, powiedział że specyficzną właściwością intelektu jest min. umiejętność rozwiązywania zadań - najbardziej charakterystyczna cecha aktywności człowieka. Postulował stworzenie heurystyki, która stara się zrozumieć proces rozwiązywania zadań, zwłaszcza operacje myślowe najczęściej użyteczne w tym procesie. "Polya... wysuwa praktyczny cel tak uprawianej dziedziny wiedzy - poprawę nauczania, zwłaszcza nauczania matematyki. Jednakże stwierdza on też wyraźnie, że widzi szersze niż tylko matematyczne zastosowania swoich spostrzeżeń, choć naturalne jest, że matematyczna twórczość interesuje go najbardziej"

Za przedmiot heurystyki można uważać "ogół działań przedsiębranych przez człowieka twórczo rozwiązującego zadania praktyczne, zadania poznawcze lub zadania przekazu."
Przykładowo należą do nich takie reguły, jak: "rozłóż proces myślenia na szereg elementarnych kroków", "gdy po pewnym czasie uprzednio wybrany kierunek poszukiwań okaże się bezowocny, porzuć go", "próbuj wykorzystać dotychczasową wiedzę: znajdź problemy podobne, które rozwiązywałeś w przeszłości i sprawdź, czy sposobów ich rozwiązań nie można przenieść do nowej sytuacji".

W procesie heurystycznego rozwiązywania zadań występują trzy podstawowe fazy:
- F a z a  o b s e r w o w a n i a, w której uczeń rozwiązując zadanie:
a) analizuje zadanie,
b) wyróżnia jego składniki,
c) stara się powiązać te składniki z elementami wcześniej nagromadzonej wiedzy oraz ze znanymi sposobami działania,
d) dąży do uzyskania wiążących się z zadaniem faktów,
- F a z a  p o s z u k i w a n i a (o d g a d y w a n i a) r o z w i ą z a n i a, gdzie uczeń dokonuje:
a) prób syntezy rozwiązania zestawiając plany rozwiązania i realizuje je,
b) analizy przyczyn i uwarunkowań osiągniętego postępu i popełnionych błędów,
c) uzyskania nowych środków modyfikujących sposób postępowania,
- F a z a  o c e n y (s p r a w d z a n i a) r o z w i ą z a n i a, w której uczeń rozwiązując zadanie weryfikuje wynik, ażeby przekonać się, czy spełnia warunki zadania, przy czym określenie sposobu weryfikacji może być przedmiotem odrębnego zadania.
Dokonana schematyzacja heurystycznego rozwiązywania zadań nasuwa interesujące spostrzeżenie. Można zauważyć, że stosowana w rozwiązywaniu metoda zawiera zarazem elementy mające pokrój algorytmów - np. wyróżnianie składników zadania - jak i składniki będące pewnymi racjonalizacjami metody "prób i błędów" - np.. zestawianie planów rozwiązywania i takie części, jak np. wiązanie zadania z elementami wcześniej nagromadzonej wiedzy i ze znanymi sposobami działania, których nie będziemy skłonni ani uznać za jednoznaczny "przepis" działania, ani za szczególny przypadek "próbowania i błądzenia".

Zasadniczą treścią metody Polya jest taktowne, dość subtelne podpowiadanie. Dlatego wyróżnia on uwagi dobre i złe. Te złe to zbyt konkretne, które zamiast otwierać ucznia na rysujące się możliwości, wpychają go na "jedyną słuszną" drogę do rozwiązania. Złe jest polecenie: Zastosuj twierdzenie Pitagorasa. Dobre będzie odwołanie się do dotychczasowego doświadczenia i do wyobraźni dziecka: Czy znasz jakieś podobne zadania?

Listę zalecanych uwag i pytań Polya rozbija na następujące cztery grupy związane z fazami rozwiązywania zadania:
1) Zrozumienie zadania. Aby uchronić przed takimi skutkami jak: odpowiadanie na pytanie, którego nie zrozumieliśmy, czy osiągnięcie celu, którego nie pragnęliśmy Polya proponuje następujące pytania:
- Co jest niewiadome? Co jest dane? Jaki jest warunek?
- Czy warunek można spełnić? Czy wystarczy on do określenia niewiadomej? (itd.)
- Zrób rysunek. Wprowadź odpowiednie oznaczenia.
- Wydziel poszczególne części warunku. Czy możesz je zapisać?
"Jest dość oczywiste, że jeżeli możemy coś zapisać, narysować, odróżnimy dane od niewiadomych i potrafimy coś powiedzieć zarówno o nich jak i o łączących je warunkach - to nie grozi nam całkowite nieporozumienie odnośnie tego co i dlaczego ma być zrobione."
2) Układanie planu rozwiązania. Zalecana tutaj lista "podpowiedzi" jest bogatsza. W tym obszarze rozgrywa się najważniejsza część pracy, którą interesuje się przede wszystkim heurystyka. Oto niektóre z tych pytań:
- Może spotkałeś się już z tym zadaniem? A może z jego nieco zmienioną postacią?
- Czy znasz jakieś pokrewne zadanie? A twierdzenie, które można zastosować?
- Spójrz na niewiadomą! I spróbuj przypomnieć sobie jakieś dobrze znane zadanie z tą samą niewiadomą.
- Oto znane ci pokrewne zadanie. Czy umiałbyś z niego skorzystać? A z jakiego wyniku? Metody? A po wprowadzeniu jakiegoś elementu pomocniczego?
- Czy nie mógłbyś zadania postawić inaczej? Odwołaj się do definicji.
- Rozwiąż jakieś prostsze zadanie pokrewne...
- Czy skorzystałeś ze wszystkich danych?
Jan Waszkiewicz słusznie twierdzi, iż warto zastanowić się nad tymi pytaniami i spróbować mieć je w zanadrzu na wypadek konieczności pomocy uczniom. "Jednakże pamiętać trzeba, że pomoc ma być okazywana wtedy, kiedy jest pożądana i gdy rzeczywiście może być użyteczna. W każdym innym wypadku będzie ona dysfunkcjonalna."
3) Wykonanie planu. Tutaj Polya zwraca uwagę na konieczność sprawdzania każdego kroku.
4) Wreszcie na koniec winien nastąpić rzut oka wstecz, czyli refleksja o poprawności otrzymanego wyniku, możliwości dojścia do wyniku inną drogą, czy też możliwości dalszego wykorzystania wyniku tej metody.

Nauczyciel stosujący heurystyczne metody nauczania nie podaje uczniowi od razu faktów w gotowej formie, ale prowokuje ucznia do samodzielnego ich wyszukania czy też odrywania. "Wszystkie strategie opracowania nowego materiału przy udziale ucznia zakładają obopólną wymianę informacji między nauczycielem i uczniami oraz między samymi uczniami, a więc są różnymi odmianami rozmowy. Może ona przyjmować postać stawiania pytań, kiedy nauczyciel zadaje uczniom celowo dobrane pytania, przeplatane niejednokrotnie krótkimi poleceniami lub wskazówkami, oczekując prawie jednoznacznej odpowiedzi. Do wyższych form należą pogadanka i dyskusja, które ukazują cel pracy ucznia i pomagają rozwinąć temat lekcji przy różnym, już bardziej świadomym, zaangażowaniu ucznia i różnym stopniu jego samodzielności."

Wanda Nowak podkreśla, iż nie jest rzeczą łatwą nauczyć się sztuki dobrej heurezy. Elastyczność jest ważną cechą takiego nauczyciela, ponieważ często będzie musiał on zmieniać przewidywane przedtem pytania, w zależności od udzielonej odpowiedzi ucznia. "Trzeba starannie obmyśleć sposób wprowadzenia w nowy materiał, a równocześnie przewidzieć sytuacje, co zresztą nie zawsze jest możliwe, które by zmuszały do zmiany głównego toku pracy."

W każdym razie - jak sądzi J. Waszkiewicz - obecnie heurystyka jest dziedziną intensywnie uprawianą na pograniczu kilku różnych nauk. Po pierwsze sporo do powiedzenia ma tutaj psychologia. Po drugie, jak u Polyi, ważna jest analiza logiczna czy też filozoficzna problemów i samego procesu rozwiązywania.

W tym rozdziale pragniemy przedstawić kilka przykładów zadań heurystycznych, zawartych w podręcznikach matematyki w szkole podstawowej dla klas: IV, V, VI:

Klasa IV


Zadanie 1.
60 turystów można posadzić w łódkach po 4 albo 5 osób. Wynajęcie łódki czteroosobowej kosztuje 70 zł, a łódki pięcioosobowej 85 zł. Ile łódek każde rodzaju należy zamówić, aby koszt wycieczki był najmniejszy?

Zadanie 2.
Kamila chce narysować na prostokątnym arkuszu tektury o wymiarach 30 cm i 50 cm siatkę o jak największym polu powierzchni. Zastanów się i odpowiedź, jakie pole powierzchni może mieć ten sześcian.

Zadanie 3.
Czterocyfrowa liczba jest wspólną wielokrotnością liczb 3 i 5.
Jej dwie pierwsze cyfry tworzą liczbę 4 razy mniejszą od liczby utworzonej
Przez dwie ostatnie cyfry. Jaka to liczba?

Zadanie 4.
Szybki ślimak porusza się z prędkością 0,007 km/h (kilometra na godzinę). Czy taki ślimak po 10 godzinach marszu pokona odległość 100m?

Klasa V


Zadanie 1.
Jola, Kasia i Basia mieszkają w jednym bloku. Suma numerów ich mieszkań to liczba 153. Numer mieszkania Kasi jest 2 razy większy od numeru Joli, ale 3 razy mniejszy od numeru Basi. Pod jakim numerem mieszka każda dziewczynka?

Zadanie 2.
Znajdź dwie liczby, których suma jest równa 4321, a różnica wynosi 1235.

Zadanie 3.
Jeden robotnik potrafi wykopać rów w ciągu 4 godzin, a drugi potrzebuje na to 6 godzin. Czy trzy godziny wystarczą obu robotnikom do wykopania tego rowu?

Zadanie 4.
W których ze znanych ci czworokątów przekątne dzielą figurę na cztery trójkąty, że:
a) wszystkie trójkąty mają równe pola,
b) dwa leżące naprzeciw siebie trójkąty mają równe pola,
c) każdy trójkąt ma pole równe polu trójkąta przeciwległego?

Klasa VI


Zadanie 1.
Szkoła zakupiła na Dzień Dziecka 1600 sztuk pomarańczy, 1200 sztuk batonów czekoladowych i 800 paczek herbatników, z czego zrobiono możliwie największą liczbę jednakowych paczek. Ile było paczek? Ile pomarańczy, batonów i herbatników było w każdej paczce?

Zadanie 2.
Banany w sprzedaży detalicznej kosztowały 12000 zł za 1 kg. Sprzedawca do ceny hurtowej doliczał 50% tej ceny. Jaka była cena hurtowa 1 kg bananów? Jaki zysk miał sprzedawca ze sprzedaży 300 kg bananów, jeżeli 70 kg musiał sprzedać tylko z 25% zyskiem?

Zadanie 3.
Narysuj cztery różne kąty α, β, γ, δ oraz półprostą OA. Przenieś te kąty konstrukcyjne tak, aby wierzchołek każdego z nich znalazł się w punkcie O, jedno ramię pokrywało się z półprostą OA, a drugie było nad nią. Porównaj miary tych kątów.

Zadanie 4.
Odcinek a= 13 cm podziel na trzy odcinki w stosunku 1: 3: 4 korzystając z konstrukcji podziału odcinka na połowy.

1.3. Metoda Wittmana.


Helena Siwek w artykule: Przedłużanie zadań pisze, iż uzupełniając zasadę G. Polya, która została opisana w rozdziale trzecim, wg której po rozwiązanym zadaniu winien nastąpić "rzut oka wstecz" trzeba zażądać, aby pojawił się także "rzut oka wprzód ".
Uczeń nie powinien zamykać książki po rozwiązaniu problemu. Zdobyte doświadczenie i wiedzę winien wykorzystać do głębszego zbadania tego problemu, do jego przedłużenia.

"Przedłużanie zadania" - ten termin pochodzi od niemieckiego dydaktyka E. Wittmana. Proponuje on "przechodzić od zadań stereotypowych, do zadań bardziej otwartych, stosując metodę ' problemów tworzących' (czyli dokonując przedłużenia zadania)."
W jednostce dydaktycznej realizowanej według tej koncepcji wyróżnia się dwa etapy.

W pierwszym etapie prowadzący podaje tzw. zadanie wyjściowe. Uczniowie pracują pod kierunkiem nauczyciela, w razie potrzeby są przez niego kierowani, wspomagani wskazówkami, bądź pytaniami naprowadzającymi na właściwą drogę rozwiązania.

W etapie drugim, ponieważ tutaj bardziej aktywną stroną ma być uczeń. "On to ma tworzyć nowe warianty zadania na drodze analogii, uogólniania, transferu, stosowania tej samej metody do innych zadań itp."

W tym etapie - jak pisze Piotr Podgórski w artykule "O koncepcji E. Wittmana rozwiązywania problemów matematycznych" -nauczyciel kieruje analizą sytuacji zadania wyjściowego. Prowadzi dyskusję nad tym jak osiągnięto cel, co utrudniło jego uzyskanie, co sprzyjało rozwiązaniu - w jakim kierunku może zmierzać uogólnienie zadania, jakie są możliwe zadania odwrotne, jakie znaczenie i miejsce w naszej wiedzy zajmie jego wynik itp.

Na początku są to zadania, które można rozwiązać przy pomocy wiadomości i doświadczeń metodologicznych przypomnianych i zdobytych w fazie pierwszej. Jednakże dzięki wzrostowi zaufania do swoich umiejętności, pojawiają się niebanalne pytania, mniej zamknięte i wcale nie proste.

Zadania te mogą być również takie, do rozwiązania których będą potrzebne nowe wiadomości, zarówno wprowadzane bezpośrednio ze znanych już uczniom, jak również wymagające głębszych studiów.

W tej fazie jednostki dydaktycznej udział prowadzącego zajęcia wzrasta. Ocenia on krytycznie i analizuje wspólnie z klasą pomysły, w umiejętny sposób sugeruje nowe koncepcje w razie potrzeby.

Uczniowie mają szerokie pole do kształcenia matematycznej aktywności. Zadanie wyjściowe staje się źródłem nowych zadań na drodze uogólnienia, analogii itp.

Sam wybór zadania wyjściowego nie jest bagatelny. Na początku nauki według tej koncepcji powinny pojawić się raczej zadania stojące "na dole" hierarchii zadań podobnych. rozwiązywanie ich, a także tworzenie zadań nowych zostaje ukierunkowane przede wszystkim na "mała" matematyzację konkretnej opisanej sytuacji w temacie, na formułowanie hipotez w oparciu o rozważania intuicyjne. "Przez odpowiedni dobór dalszych zadań wyjściowych i właściwą metodykę organizacji procesu ich rozwiązywania kształci się i inne umiejętności takie jak np. wyodrębnianie i formułowanie podproblemów, hipotez opartych na analogii, symetrii itp."

Z. Krygowska szeroko opisuje dwa główne sposoby jakim jest: przedłużanie w kierunku analogii i przedłużanie w kierunku uogólnienia. W przypadku pierwszym, po sformułowaniu twierdzenia wyjściowego (rozwiązaniu oraz analizie zadania wyjściowego), konstruujemy zadanie analogiczne. "Takie sytuacje występują często w nauczaniu np.
1. stwierdzamy: na każdym trójkącie można opisać okrąg, badamy czy: na każdym czworokącie (pięciokącie itp.) można opisać okrąg;
2. stwierdzamy: każda izometria jest symetrią osiową, złożeniem dwóch lub trzech symetrii osiowych, badamy czy; każda izometria jest złożeniem skończonej liczby symetrii środkowych, translacji, obrotów itp."


W sytuacji przedłużenia w kierunku uogólnienia formułuje się, w postaci hipotezy, twierdzenie ogólniejsze do twierdzenia wyjściowego. Z. Krygowska wśród uogólnień wyróżnia następujące typy:
1) uogólnienie przez indukcję - stawiamy ogólną hipotezę po uprzednim zbadaniu kilku przypadków,
2) uogólnienie przez uogólnienie rozumowania - rozumowanie prowadzimy w szczególnym przypadku, następnie zauważamy, iż taki sam będzie jego przebieg przy ogólnych danych,
3) uogólnienie przez unifikację - klika szczególnych przypadków oraz kilka analogicznych twierdzeń łączymy w jedno ogólne twierdzenie,
4) uogólnienie przez dostrzeżenie prawa rekurencji - przez zauważenie prawa rekurencji uogólniamy rozumowanie prowadzone w szczególnym przypadku.

Analogia i uogólnienie zazwyczaj występują łącznie, one się wzajemnie przeplatają, rzadko pojawiają się w formie czystej, izolowanej.

H. Siwek w artykule "Przedłużanie zadań" podaje przykłady niektórych z tych sposobów, dobranych do różnych poziomów nauczania. Ograniczymy się tylko do nauczania początkowego, szkoły podstawowej i gimnazjum. Ominiemy poziom szkoły średniej.
Uważa ona iż przedłużanie zadań powinno być metodą pracy, którą się stosuje od początku nauki. Bowiem od początku dziecko powinniśmy przyzwyczajać do stawiania pytań, poszukiwania różnych rozwiązań, do formułowania problemów.

Przykład 1 - poziom nauczania początkowego


Etap I
Zadanie wyjściowe - zbuduj z kafelek w kształcie trójkątów równobocznych posadzkę (dzieci dysponują kolorowymi trójkątami z mozaiki - układanki).

Etap II - przedłużenie zadania
Konstrukcja posadzek z wielokątów foremnych (trójkątów, pięciokątów, sześciokątów) jednego lub większej liczby rodzajów.
Badanie możliwości budowania posadzek z innych figur (np. kół, rombów itp.).

Przedłużenie zadania nastąpiło w tym przypadku z udziałem analogii. Można by dokonać uogólnienia przez indukcję (na wyższym poziomie) i sformułować warunek na sumę kątów "schodzących się" w jednym punkcie posadzki. Byłoby to narzędzie do sprawdzenia czy z podanych wielokątów można ułożyć posadzkę.

Przykład 2 - poziom klas IV-VI szkoły podstawowej


Etap I

Zadanie wyjściowe - oblicz sumę liczb od 1 do 100.

Etap II - przedłużenie zadania
Oblicz sumę liczb nieparzystych od 1 do 100. Oblicz sumę liczb parzystych od 1 do 100 (są to zadania analogiczne).

Zadaniem tych przykładów- pisze H.Siwek - jest prócz pojęcia przedłużenia zadań także odmitologizowanie trochę tego pojęcia. "Wydaje się bowiem, że jeśli ktoś uczy porządnie matematyki (nie rachunków wg algorytmów i werbalnych metod), to nie znając pojęcia przedłużania zadań, robi to w sposób naturalny."

Wprowadzenie tegoż pojęcia, jego nazwanie, wyróżnienie pewnego typu zadań jest ważne o tyle, iż podkreśla rolę analizy rozwiązania zadania wyjściowego dla z góry określonego celu - mianowicie dla konstrukcji zadań ogólniejszych i analogicznych przez samego ucznia, dla rozwijania uczącemu aktywności twórczej. Uświadamia jemu możliwość, drogę realizacji nowoczesnych celów kształcenia matematycznego.

Jedną z bardziej oczekiwanych przez nauczycieli matematyki postaw swoich uczniów jest aktywny stosunek do rozwiązywania zadań. Szczególnie interesująca jest ta forma aktywności, która wykorzystując analizę sytuacji występujących w zadaniach oraz metod ich rozwiązywania, pozwala uczniowi dostrzec i umiejętnie sformułować problemy analogiczne lub podobne. Zdobyta wiedza podczas rozwiązywania danego zadania jest wówczas w naturalny sposób wykorzystywana do pogłębienia problemu. Nie wszystkie zadania nadają się do przedłużenia, lecz są takie, które nadają się w sposób szczególny.

Literatura:
1. Dobrowolska Małgorzata, Zarzycki Piotr, Matematyka 4, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk 1999.
2. Drążek Anna, Grabowska Barbara, Kalicka Zdzisława, Matematyka 6, WSiP Warszawa 1987.
3. Góralski Andrzej, "Twórcze rozwiązywanie zadań", Warszawa 1980.
4. Kaja Janusz, Matematyka 5, Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa1998.
5. Kozielecki Józef, "Rozwiązywanie problemów", Warszawa 1969.
6. Krygowska Zofia, "Zarys dydaktyki matematyki". Warszawa 1977, cz.1, Warszawa 1998.
7. Krygowska Zofia, Zarys dydaktyki matematyki, cz. III, Warszawa 1977.
8. Nowak Wanda, "Konwersatorium z dydaktyki matematyki", Warszawa 1989.
9. Podgórski Piotr, O koncepcji E. Wittmana rozwiązywania problemów matematycznych, Matematyka 1978.
10. Rosłon Elżbieta, Matematyka 5, Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1996.
11. Siwek Helena, "Czynnościowe nauczanie matematyki". Warszawa 1988.
12. Siwek Helana, Przedłużanie zadań, Oświata i Wychowanie, Wersja B, Nr 15/535, 16-30 IX 1984.
13. Słownik Wyrazów Obcych, PWN 1971, s.277.
14. Świst Małgorzata, Zielińska Barbara, Matematyka 4, Warszawa 2000.
15. Turnau S, Ciosek M., Legutko M., Matematyka 4, WSP, Warszawa 1979.
16. Waszkiewicz Jan, "György Pólya i sztuka rozwiązywania zadań", w: Matematyka 1995, nr 5.

 

Opracowanie: mgr Beata Marcińska

Zgłoś błąd    Wyświetleń: 12769
 
   Komentarze
Jeszcze nie ma żadnych komentarzy, Twój może być pierwszy!

Dodaj komentarz
  Barometr
1 2 3 4 5 6  
Oceń artukuł!



Ilość głosów: 0
  Publikacje

Nowe zasady publikacji
Szukaj autora i tytuł
Ostatnio dodane materiały
Ranking publikacji 
Najczęściej zadawane pytania
  Twoje konto
Zaloguj się
Załóż konto
Zapomniałem hasła
  Forum
Nauczyciel - awans zawodowy
Matura
Korepetycje
Ogłoszenia - kupię, sprzedam, oddam


O Profesorze - Napisz do Nas - Reklama - Polityka prywatności - Najczęściej zadawane pytania - Zgłoś błąd

2000-2014