Katalog

Elżbieta Sadowska
Matematyka, Konspekty

Opis zajęć kółka matematycznego prowadzonych w pracowni komputerowej (zajęcia pozalekcyjne)

- n +



Opis cyklu zajęć z matematyki w sali komputerowej.





        Prowadząc kółko matematyczne dla uczniów Zespołu Szkół Rolniczych w Gosławicach interesujących się matematyką (za wyjątkiem uczniów najstarszych klas maturalnych) poszukiwałam materiału odpowiedniego i atrakcyjnego dla tak zróżnicowanej wiekowo młodzieży. Okazało się, że interesujące są zajęcia z komputerem. Wykorzystałam program komputerowy "Narzędzia Matematyczne II" - karta MIARA. Celem zajęć jest zachęcenie uczestników do pogłębiania materiału nauczania oraz pomoc uczniom w funkcjonowaniu w zmieniającym się świecie, życiu, którego wymagania wciąż wzrastają poprzez wykorzystanie i doskonalenie umiejętności stosowania technologii komputerowej, pobudzanie aktywności, zainteresowań i pasji uczniów oraz stworzenie możliwosci ich realizacji. Oto krótkie sprawozdanie w formie elaboratu z trzech zajęć kółka matematycznego prowadzonych w sali komputerowej.


Spotkanie I: Pole figury płaskiej przy zastosowaniu metody Jordana.

Celem zajęć jest wprowadzenie pojęcia pola figury płaskiej wg miary polowej Jordana. Zajęcia realizowałam omawiając najpierw pojęcie kresu górnego ciągu i kresu dolnego, następnie mierzenie długości odcinków i wreszcie metodę Jordana.

1.Kres górny ciągu i kres dolny ciągu.

Definicja kresu górnego zbioru A: kresem górnym zbioru A nazywamy najmniejszą liczbę ograniczającą ten zbiór A z góry. Ozn. Sup A (supremum zb. A).
Definicja kresu dolnego zbioru A: kresem dolnym zbioru A nazywamy największą liczbę ograniczającą ten zbiór A z dołu. Ozn.Inf A (infimum zb. A).
Przykład:
Rozmiar: 7744 bajtów


2.Mierzenie długości odcinków.

        Długość w praktyce mierzy się linijką, taśmą mierniczą lub innymi przymiarami. Różne przymiary służą do mierzenia w różnych zakresach długości i z różną dokładnością, jednak nie dowolną ( nie ma przymiarów z podziałką drobniejszą niż 0,5 mm; do dokładniejszych pomiarów służą specjalne przyrządy). Nie możemy zmierzyć dokładnie długości odcinka, a jedynie z pewną dokładnością. W praktyce szkolnej najczęściej wykonujemy na lekcjach obliczenia algebraiczne długości odcinków, a rzadko mierzymy te wielkości. Obliczenia algebraiczne są dokładne, ponieważ w zadaniach podane są liczbowe lub literowe dokładne dane oznaczające długości odcinków lub położenie punktów na płaszczyżnie. Nie oznacza to jednak, że podane wielkości można zmierzyć i otrzymać te same dokładne wyniki. Dla teoretycznego mierzenia odcinków jako uniwersalnego "przymiaru" używamy półprostej z nieograniczoną i dowolnie dokładną podziałką. Tę możliwość zapewniają nieograniczoność i gęstość prostej. Przyjmujemy, że przy ustalonej jednostce każdy odcinek ma jednoznacznie określoną długość, będącą liczbą nieujemną. Liczba 0 jest długością odcinka zerowego tzn. Odcinka utworzonego z jednego punktu.


2.Metoda Jordana

        Rysujemy myszką dowolną figurę w postaci krzywej zamkniętej i zamalowujemy jej wnętrze ( nie powinien być to ani prostokąt, ani trójkąt, ani koło, ponieważ przy ogólnej znajomości wzorów pozwalających obliczać ich pole uczniowie będą się nimi sugerować przy wyznaczaniu pola za pomocą komputera).

Rys.1 Przykładowa figura do mierzenia pola.

Rozmiar: 12480 bajtów

Definicja miary polowej Jordana:

        Niech F będzie daną figurą. Pokrywamy figurę F siatką kwadratową zbudowaną z kwadratów jednostkowych K1 i wyznaczamy pole segmentu wewnetrznego s1 będące sumą pól kwadratów K1 zawartych w figurze F oraz pole segmentu zewnętrznego S1 będące sumą pól kwadratów K1 mających przynajmniej jeden punkt z figurą F. Następnie dzielimy każdy kwadrat K1 siatki na cztery równe kwadraty K2 i wyznaczamy analogicznie pole segmentu wewnetrznego s2 równe sumie pól kwadratów K2 zawartych w figurze F oraz pole segmentu zewnetrznego S2 równe sumie pól kwadratów mających przynajmniej jeden punkt wspólny z figura F. Postepując tak dalej otrzymujemy ciąg pól segmentów s1, s2, s3, ... i ciąg pól segmentów S1, S2, S 3,...Jeśli kres górny ciągu s1, s2, s3, ... jest równy kresowi dolnemu ciągu S1, S2, S 3,... to kres ten nazywamy polem figury F.

        Program pokrywa figurę odpowiednią siecią kwadratową oraz oblicza sumę pól. Zwracam uwagę na to, że wyznaczone przez program liczby, oprócz dwóch pierwszych dla niepodzielnego kwadratu nie są liczbą odpowiednich kwadratów lecz sumą ich pól przy danej jednostce. Jednostką tą jest pierwszy, największy kwadrat. Przy wyznaczaniu wszystkich pól segmentów dla danej figury (rys.2) należy przeanalizować oba ciągi pól pod względem ich monotoniczności.



Rys.2 Mierzenie pola przykładowej figury metodą Jordana.

Rozmiar: 21577 bajtów

        Ciąg pól zewnętrznych jest malejący (w szczególnym przypadku może być stały), a ciąg pól wewnętrznych jest rosnący(w szczególnym przypadku może być stały). Ich ostatnie pola, uzyskane dla najdrobniejszego podziału, nie są sobie równe (w szczególnym przypadku, np.dla odpowiednio dobranego prostokąta, mogą być równe), ponieważ mogliśmy wykonać tylko 5 podziałów kwadratu jednostkowego. Program nie może więc pokazać, że oba ciągi mają wspólny kres, ale pokazuje, że ciągi te zbliżają się do jakiejś wspólnej liczby i ona właśnie jest polem figury. W czasie rozmowy z uczniami uwypuklam istnienie kresu oraz to, że pole figury nie może być zmierzone dokładnie, a jedynie z pewną dokładnością. Należy tutaj odwołać się do tego, że podobna sytuacja zachodzi wtedy, kiedy nie możemy zmierzyć dokładnie długości odcinka.


3. Pole punktu, odcinka, łamanej, okręgu, krzywej

        Korzystając z karty MIARA może się zdarzyć sytuacja, że narysujemy figurę i zapomnimy zamalować jej wnętrze, albo też narysujemy figurę i nie będziemy w stanie zamalować jej wnętrza. Możemy też celowo zaproponować uczniom wyznaczenie pola jakiejś krzywej lub dowolnego zbioru punktów bez punktów wewnętrznych (rys.1).


Rys.3 Mierzenie pola krzywej metodą Jordana.

Rozmiar: 22773 bajtów

        Otrzymane dla takiej figury ciągi pól segmentów wewnętrznych i zewnętrznych mogą wydawać się uczniom dziwne, ale są one prawidłowe i należy umieć je odpowiednio zinterpretować. Ciąg pól wewnętrznych dla wszystkich podziałów sieci ma wartości równe 0, ponieważ figura nie ma punktów wewnętrznych. Wartości wyrazów ciągu pól zewnętrznych oznaczaja sumę pól kwadratów sieci pokrywających brzeg figury i dążą do zera. Przy nieskończenie małym podziale otrzymalibyśmy wartość 0 i kresy obu ciągów byłyby równe. Należy więc przyjąć, że pole naszej figury bez punktów wewnętrznych wynosi 0.





Spotkanie II: Pole figury płaskiej przy zastosowaniu metody Monte Carlo.

        Celem zajęć jest wprowadzenie pojęcia pola figury płaskiej wg metody Monte Carlo. Do zastosowania metody Monte Carlo należy umieścić daną figurę w prostokącie o znanym polu P( wtym wypadku P=48). Następnie należy wylosować, wewnątrz tego prostokąta, n punktów i policzyć liczbę punktów k, które trafiły w daną figure. Pole figury obliczamy z proporcji: Pfigury / P = k / n. Pole figury wyraża się więc wzorem: Pfigury = (k / n) P Aby zastosować tę metodę w programie, należy po narysowaniu figury i zamalowaniu jej wnętrza, wybrać w ramce tytułowej "Metoda Monte Carlo"(umieszczonej w dolnej części ekranu) prostokąt oznaczony odpowiednią liczbą prób losowych. Program będzie losował tę liczbę punktów i poda liczbę sukcesów k, czyli liczbę punktów, które trafiły w figurę, oraz poda wartość pola obliczoną z wyżej podanego wzoru (rys.1)


Rys.1 Mierzenie pola figury metodą Monte Carlo

Rozmiar: 25452 bajtów

        Wyniki, jakie uzyskujemy za pomocą tej metody, dla 10000 lub 20000 prób, są zaskakująco dobre. Mieszczą się one najczęściej pomiędzy ostatnimi, najdokładniejszymi polami, wewnętrznym a zewnętrznym, uzyskanymi w metodzie Jordana. Metoda Monte Carlo ma jednak pewną niedogodność. Trudno za jej pomocą wytłumaczyć, że pole odcinka, krzywej czy innej figury nie mającej punktów wewnętrznych wynosi 0. Gdybyśmy nawet kazali komputerowi losować bardzo dużą liczbę punktów, to wśród nich byłoby też dużo punktów, które trafiły w figurę i wartość pola nie byłaby bliska 0. Byłaby ona bliska ilorazowi liczby pikseli, z jakich zbudowana jest figura i liczby wszystkich pikseli prostokąta, w którym narysowana jest figura.W metodzie Jordana mamy natomiast malejący ciąg pól segmentów i na podstawie tego faktu możemy sądzić, że pole jest równe 0. Można zaproponować uczniom umiejącym programować, jeszcze jedną, najdokładniejszą i najszybszą metodę komputerowego mierzenia pola figur narysowanych na ekranie komputera. W tej metodzie wystarczy policzyć liczbę pikseli z jakich składa się dana figura i zamienić tę liczbę na pole, wiedząc ile pikseli wchodzi na jednostkę pola. Załóżmy np., że jakaś figura narysowana na ekranie komputera składa się ze stu tysięcy pikseli, a jednostką jest kwadrat o boku 64 pikseli. Pole figury wynosi więc: : Pfigury = 100000/642 = 24,4140625 Liczba 24,4140625 jest oczywiście dokładna i zawsze w tej metodzie będzie dokładna, ponieważ figury narysowane na ekranie komputera zawsze składają się ze skończonej liczby pikseli. Wiedząc jednak, że piksel to malutki kwadracik, musimy też pamiętać, że liczba ta nie wyraża pola figury, ale pole jakiegoś wielokąta podobnego do figury. Gdy wpatrzymy się w figurę z bliska, albo przez lupę, to widzimy, że jej boki są "poząbkowane" i przez to możemy ją uznać za pomyślana figurę, a liczbę 24,4140625 za jej pole.






Spotkanie III: Pole koła. Zmiana pola w przekształceniach.

        Wyznaczamy najpierw pole koła o promieniu 1. Ponieważ w naszym programie jednostką jest kwadrat o boku 64 pikseli, więc rysujemy okrąg o promieniu 64 pikseli. Zamalowujemy wnętrze koła i wyznaczamy ciągi pól segmentów wewnętrznych i zewnętrznych (rys 1).


Rys. 1 Mierzenie pola koła metodą Jordana.

Rozmiar: 17439 bajtów

        Okazuje się, że oba ciągi pól zbliżają się do jakiejś jednej, nieznanej początkowo liczby. Liczba ta istnieje, ponieważ koło ma pole, które zgodnie z definicją miary Jordana, jest równe kresowi ciągów obu miar. Według powyższych pomiarów, liczba ta mieści się pomiędzy ostatnim polem wewnętrznym a zewnętrznym, czyli między 3,1201 a 3,2461.Gdyby wziąć średnią z tych liczb, uzyskalibyśmy wartość 3,1831. Po wykonaniu tych pomiarów informujemy uczniów, że liczba oznaczająca pole koła o promieniu 1, została w matematyce oznaczona symbolem Rozmiar: 1678 bajtów. Jej wartość uzyskana za pomocą programu nie jest na pewno dokładna, ponieważ grubość piksela na ekranie komputera, tzw. "rozdzielczość", jest zbyt duża i nie pozwala na rysowanie drobniejszych punktów, a więc i dokładniejsze mierzenie. Jest jednak duży walor w tym co wykonaliśmy za pomocą programu. Uczniowie stwierdzili namacalnie i zobaczyli własnymi oczami, że liczba Rozmiar: 1678 bajtów ma rzeczywiście wartość około 3,14.


Przechodzimy do karty PRZEKSZTAŁCENIA i przekształcamy koło przez jakieś podobieństwo w skali 2 z symetrią osiową (rys 2).

Rys. 2 Przekształcenie koła przez podobieństwo.

Rozmiar: 14246 bajtów

        Teraz znów przechodzimy do karty MIARA i dokonujemy pomiaru pola otrzymanego obrazu koła. Porównując otrzymane pola, wewnętrzne i zewnętrzne i z metody Monte Carlo, z poprzednio otrzymanymi polami, uczniowie powinni zauważyć, że pole figury wzrosło 4 razy. Po wykonaniu serii ćwiczeń, uczniowie powinni sformułować wniosek,że podobieństwo w skali k zmienia pole figury w skali k2. Można to zapisać symbolicznie P` figury= k2 Pfigury.

Rozmiar: 26247 bajtów

        Powyższy wniosek wykorzystujemy do wyprowadzenia wzoru na pole koła o dowolnym promieniu R. Mianowicie, koło o promieniu R jest obrazem koła o promieniu 1 w podobieństwie o skali R. Ponieważ pole koła o promieniu 1 wynosi Rozmiar: 1748 bajtów, więc pole koła o promieniu R wynosi R2Rozmiar: 1678 bajtów. W podobny sposób można wyprowadzić wzory na zmianę pola w innych przekształceniach. Dla powinowactwa o skali k otrzymujemy wzór: P`f =IkI Pf.


Opracowanie: Elżbieta Sadowska



Wyświetleń: 3460


Uwaga! Wszystkie materiały opublikowane na stronach Profesor.pl są chronione prawem autorskim, publikowanie bez pisemnej zgody firmy Edgard zabronione.